線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{array}]$

ステップ 1

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.2

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (4 \cdot 4 - 3 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$1 (16 - 3 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$1 (16 - 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.2.2.2

$16$ から $9$ を引きます。

$1 \cdot 7 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.3

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 7 - 3 (1 \cdot 4 - 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot 7 - 3 (4 - 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 \cdot 7 - 3 (4 - 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$1 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.4

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot 4)$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$1 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 3 (3 - 1 \cdot 4)$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$1 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 3 (3 - 4)$

ステップ 1.4.2.2

$3$ から $4$ を引きます。

$1 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$7$ に $1$ をかけます。

$7 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

ステップ 1.5.1.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$7 - 3 + 3 \cdot - 1$

ステップ 1.5.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$7 - 3 - 3$

ステップ 1.5.2

$7$ から $3$ を引きます。

$4 - 3$

ステップ 1.5.3

$4$ から $3$ を引きます。

$1$

ステップ 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 4 - 3 & 3 - 3 & 0 - 1 & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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ステップ 4.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 - 1 & 3 - 3 & 4 - 3 & 0 - 1 & 0 - 0 & 1 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 1 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & 4 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 4.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 4 - 3 \cdot - 1 & 0 - 3 \cdot 1 & - 3 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 7 & - 3 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} 7 & - 3 & - 3 \\ - 1 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

線形代数 例

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