線形代数例

$x^{8} + 80 x^{4} - 81 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$x^{8}$ を ${(x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{4})}^{2} + 80 x^{4} - 81 = 0$

ステップ 1.2

$u = x^{4}$ とします。 $u$ を $x^{4}$ に代入します。

$u^{2} + 80 u - 81 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して $u^{2} + 80 u - 81$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 81$ で、その和が $80$ です。

$- 1, 81$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 1) (u + 81) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} - 1 = 0$

$x^{4} + 81 = 0$

ステップ 3

$x^{4} - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$x^{4} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} - 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $x^{4} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{4} = 1$

ステップ 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

ステップ 3.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

$x^{4} + 81$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{4} + 81$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} + 81 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{4} + 81 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $81$ を引きます。

$x^{4} = - 81$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 81}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt[4]{- 81}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 81$ を $3^{4} \cdot - 1$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.3.1.1

$81$ を $- 81$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt[4]{81 (- 1)}$

ステップ 4.2.3.1.2

$81$ を $3^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4} \cdot - 1}$

ステップ 4.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3 \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 5

最終解は $(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

ステップ 6

定義域はすべての有効な $x$ 値の集合です。

${x | x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}}$

ステップ 7

線形代数 例

線形代数例