線形代数例

$16 x^{2} + 9 y^{2} = 144$

ステップ 1

方程式の両辺から $16 x^{2}$ を引きます。

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$

ステップ 2

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$9 y^{2} = 144 - 16 x^{2}$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{144}{9} + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$144$ を $9$ で割ります。

$y^{2} = 16 + \frac{- 16 x^{2}}{9}$

ステップ 2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 16 - \frac{16 x^{2}}{9}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{16 - \frac{16 x^{2}}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 4.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{4^{2} - \frac{16 x^{2}}{9}}$

ステップ 4.1.2

$\frac{16 x^{2}}{9}$ を ${(\frac{4 x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{4^{2} - {(\frac{4 x}{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 4$ であり、 $b = \frac{4 x}{3}$ です。

$y = \pm \sqrt{(4 + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.3

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.4

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3}) (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 3 + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.6

$4$ を $4 \cdot 3 + 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1

$4$ を $4 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 x}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.6.2

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3) + 4 (x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.6.3

$4$ を $4 (3) + 4 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.7

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.8

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4 x}{3})}$

ステップ 4.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 \cdot 3 - 4 x}{3}}$

ステップ 4.10

$4$ を $4 \cdot 3 - 4 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.10.1

$4$ を $4 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) - 4 x}{3}}$

ステップ 4.10.2

$4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3) + 4 (- x)}{3}}$

ステップ 4.10.3

$4$ を $4 (3) + 4 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x)}{3} \cdot \frac{4 (3 - x)}{3}}$

ステップ 4.11

$\frac{4 (3 + x)}{3}$ に $\frac{4 (3 - x)}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (4 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

ステップ 4.12

掛け算します。

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ステップ 4.12.1

$4$ に $4$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 4.12.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

ステップ 4.13

$\frac{16 (3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 4.13.1

$16 (3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 ${(2^{2})}^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

ステップ 4.13.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.13.3

分数 $\frac{{(2^{2})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

ステップ 4.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 4.15

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 4.16

$\frac{4}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 6

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

ステップ 7.2

$3 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$3 + x$ が $0$ に等しいとします。

$3 + x = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7.3

$3 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$3 - x$ が $0$ に等しいとします。

$3 - x = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について $3 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- x = - 3$

ステップ 7.3.2.2

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1

$- x = - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 7.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$x = 3$

ステップ 7.4

最終解は $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 3$

ステップ 7.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 7.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.6.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 7.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

ステップ 7.6.1.3

左辺 $- 27$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6.2

区間 $- 3 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.2.1

区間 $- 3 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

ステップ 7.6.2.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.6.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.6.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

ステップ 7.6.3.3

左辺 $- 27$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 7.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 \leq x \leq 3$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 3, 3]$

集合の内包的記法：

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

ステップ 9

線形代数 例

線形代数例