線形代数例

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

ステップ 1

$16 x^{2}$ と $32 x^{2}$ をたし算します。

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 25$ 、 $b = - 100$ 、および $c = 48 x^{2} - 284$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 100$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.4

$48$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.5

$- 100$ に $- 284$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.6

$10000$ と $28400$ をたし算します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.7

$4800$ を $- 4800 x^{2} + 38400$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$4800$ を $- 4800 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.7.2

$4800$ を $38400$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.7.3

$4800$ を $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.8

$4800 (- x^{2} + 8)$ を $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$1600$ を $4800$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.8.2

$1600$ を $40^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 4.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

ステップ 4.3

$\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 100$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.4

$48$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.5

$- 100$ に $- 284$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.6

$10000$ と $28400$ をたし算します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.7

$4800$ を $- 4800 x^{2} + 38400$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$4800$ を $- 4800 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.7.2

$4800$ を $38400$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.7.3

$4800$ を $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.8

$4800 (- x^{2} + 8)$ を $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1

$1600$ を $4800$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.8.2

$1600$ を $40^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 5.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

ステップ 5.3

$\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 5.5

$2$ を $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 5.5.2

$2$ を $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

ステップ 5.5.3

$2$ を $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$- 100$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.4

$48$ に $- 100$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.5

$- 100$ に $- 284$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.6

$10000$ と $28400$ をたし算します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.7

$4800$ を $- 4800 x^{2} + 38400$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.7.1

$4800$ を $- 4800 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.7.2

$4800$ を $38400$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.7.3

$4800$ を $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.8

$4800 (- x^{2} + 8)$ を $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.1

$1600$ を $4800$ で因数分解します。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.8.2

$1600$ を $40^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.8.3

括弧を付けます。

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.1.9

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

ステップ 6.2

$2$ に $25$ をかけます。

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

ステップ 6.3

$\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ を簡約します。

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 6.5

$2$ を $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

ステップ 6.5.2

$2$ を $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

ステップ 6.5.3

$2$ を $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

ステップ 8

$\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 9.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

ステップ 9.1.2.1.2

$- x^{2} + 8$ を $1$ で割ります。

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

ステップ 9.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

$- x^{2} + 8 \geq 0$

ステップ 9.2

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 8$

ステップ 9.3

$- x^{2} \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- x^{2} \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 9.3.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 8$

ステップ 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

ステップ 9.5

方程式を簡約します。

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ステップ 9.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{8}$

ステップ 9.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1

$\sqrt{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

ステップ 9.5.2.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 9.5.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

ステップ 9.5.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 9.6

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$ を区分で書きます。

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ステップ 9.6.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 9.6.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 9.6.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 9.6.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 9.6.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 9.7

$x \leq 2 \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 9.8

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 2 \sqrt{2}$ を解きます。

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ステップ 9.8.1

$- x \leq 2 \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1.1

$- x \leq 2 \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 9.8.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 9.8.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 9.8.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1.3.1

$\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

ステップ 9.8.1.3.2

$- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ を $- (2 \sqrt{2})$ に書き換えます。

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

ステップ 9.8.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

ステップ 9.8.2

$x \geq - 2 \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 9.9

解の和集合を求めます。

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 10

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

ステップ 11

線形代数 例

線形代数例