線形代数例

$- 16 x^{2} + y^{2} - 32 x - 14 y + 17 = 0$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 1$ 、 $b = - 14$ 、および $c = - 16 x^{2} - 32 x + 17$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4.2

$- 32$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.4.3

$- 4$ に $17$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.5

$196$ から $68$ を引きます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6

$64$ を $64 x^{2} + 128 x + 128$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.2

$64$ を $128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.3

$64$ を $128$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.4

$64$ を $64 x^{2} + 64 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.6.5

$64$ を $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

ステップ 3.3

$\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ を簡約します。

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- 14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.2

$- 32$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.4.3

$- 4$ に $17$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.5

$196$ から $68$ を引きます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6

$64$ を $64 x^{2} + 128 x + 128$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.2

$64$ を $128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.3

$64$ を $128$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.4

$64$ を $64 x^{2} + 64 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.6.5

$64$ を $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

ステップ 4.3

$\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ を簡約します。

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$- 14$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.2

$- 32$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4.3

$- 4$ に $17$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

$196$ から $68$ を引きます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

$64$ を $64 x^{2} + 128 x + 128$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$64$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2

$64$ を $128 x$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.3

$64$ を $128$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.4

$64$ を $64 x^{2} + 64 (2 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.5

$64$ を $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ で因数分解します。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7

$64$ を $8^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

ステップ 5.3

$\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ を簡約します。

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

ステップ 7

$\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

ステップ 8

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

ステップ 8.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8.3

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 8.4.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i$

ステップ 8.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 8.5.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i$

ステップ 8.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - 1 + i$

ステップ 8.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.2.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.3

$4$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.4

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.5

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.1.9

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

ステップ 8.6.3

$\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ を簡約します。

$x = - 1 \pm i$

ステップ 8.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - 1 - i$

ステップ 8.7

首位係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

多項式の最高次の項は最高次をもつ項です。

$x^{2}$

ステップ 8.7.2

多項式の首位係数は最高次の項の係数です。

$1$

ステップ 8.8

実x切片がなく、首位係数が正なので、放物線は上に開で $x^{2} + 2 x + 2$ は常に $0$ より大きくなります。

すべての実数

ステップ 9

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 10

線形代数 例

線形代数例