線形代数例

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{49}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

ステップ 1.2

$\frac{1}{9}$ と $y^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

ステップ 2

方程式の両辺から $\frac{x^{2}}{49}$ を引きます。

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

ステップ 3

方程式の両辺に $9$ を掛けます。

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

ステップ 4.2.1.2

$9$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

ステップ 4.2.1.3

$9 (- \frac{x^{2}}{49})$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- 1$ に $9$ をかけます。

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

ステップ 4.2.1.3.2

$- 9$ と $\frac{x^{2}}{49}$ をまとめます。

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

ステップ 4.2.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

ステップ 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

ステップ 6

$\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ を簡約します。

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ステップ 6.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 6.1.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

ステップ 6.1.2

$\frac{9 x^{2}}{49}$ を ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

ステップ 6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = \frac{3 x}{7}$ です。

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.3

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.4

$3$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.6

$3$ を $3 \cdot 7 + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.6.1

$3$ を $3 \cdot 7$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.6.2

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.6.3

$3$ を $3 (7) + 3 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.7

$3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{7}{7}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.8

$3$ と $\frac{7}{7}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

ステップ 6.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

ステップ 6.10

$3$ を $3 \cdot 7 - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 6.10.1

$3$ を $3 \cdot 7$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

ステップ 6.10.2

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

ステップ 6.10.3

$3$ を $3 (7) + 3 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

ステップ 6.11

$\frac{3 (7 + x)}{7}$ に $\frac{3 (7 - x)}{7}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

ステップ 6.12

掛け算します。

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ステップ 6.12.1

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

ステップ 6.12.2

$7$ に $7$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

ステップ 6.13

$\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ を ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 6.13.1

$9 (7 + x) (7 - x)$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

ステップ 6.13.2

$49$ から完全累乗 $7^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

ステップ 6.13.3

分数 $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

ステップ 6.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

ステップ 6.15

$\frac{3}{7}$ と $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

ステップ 7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

ステップ 7.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

ステップ 7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

ステップ 8

$\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

ステップ 9.2

$7 + x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

$7 + x$ が $0$ に等しいとします。

$7 + x = 0$

ステップ 9.2.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 9.3

$7 - x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.3.1

$7 - x$ が $0$ に等しいとします。

$7 - x = 0$

ステップ 9.3.2

$x$ について $7 - x = 0$ を解きます。

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ステップ 9.3.2.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- x = - 7$

ステップ 9.3.2.2

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.2.2.1

$- x = - 7$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 9.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 9.3.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 1}$

ステップ 9.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.2.3.1

$- 7$ を $- 1$ で割ります。

$x = 7$

ステップ 9.4

最終解は $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 7, 7$

ステップ 9.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

ステップ 9.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 9.6.1

区間 $x < - 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1.1

区間 $x < - 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 10$

ステップ 9.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 10$ で置き換えます。

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

ステップ 9.6.1.3

左辺 $- 51$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.6.2

区間 $- 7 < x < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.6.2.1

区間 $- 7 < x < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

ステップ 9.6.2.3

左辺 $49$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.6.3

区間 $x > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 9.6.3.1

区間 $x > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 10$

ステップ 9.6.3.2

$x$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

ステップ 9.6.3.3

左辺 $- 51$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

$x < - 7$ 偽

$- 7 < x < 7$ 真

$x > 7$ 偽

ステップ 9.7

解はすべての真の区間からなります。

$- 7 \leq x \leq 7$

ステップ 10

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 7, 7]$

集合の内包的記法：

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

ステップ 11

線形代数 例

線形代数例