線形代数例

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{\sin (x)}{x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{\sin (x)}{x} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 2.5

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 0$

$x = 2 π n, π + 2 π n$

ステップ 2.9

解をまとめます。

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$

ステップ 2.10

$\frac{\sin (x)}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.10.1

$\frac{\sin (x)}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.10.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 3 π$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.12.1

区間 $0 < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.1.1

区間 $0 < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{\sin (2)}{2} \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $0.45464871$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.2

区間 $π < x < 2 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.2.1

区間 $π < x < 2 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\frac{\sin (5)}{5} \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $- 0.19178485$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.12.3

区間 $2 π < x < 3 π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.3.1

区間 $2 π < x < 3 π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{\sin (8)}{8} \geq 0$

ステップ 2.12.3.3

左辺 $0.12366978$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < π$ 真

$π < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < 3 π$ 真

$0 < x < π$ 真

$π < x < 2 π$ 偽

$2 π < x < 3 π$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$0 + 2 π n \leq x \leq π + 2 π n$ または $2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 2.14

区間をまとめます。

$2 π n \leq x \leq π + 2 π n or 2 π + 2 π n \leq x \leq 3 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$\frac{\sin (x)}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 5

線形代数 例

線形代数例