線形代数例

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $7$ です。

$2, 5$

ステップ 2.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) (x + 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 2.4

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.6

最終解は $(x + 2) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 5$

ステップ 2.7

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

ステップ 2.9

解をまとめます。

$x = - 2, - 5, - 3$

ステップ 2.10

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.10.1

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.10.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.12.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $- 3.6$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.12.2

区間 $- 5 < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.2.1

区間 $- 5 < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $2$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.3

区間 $- 3 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.3.1

区間 $- 3 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2.5$

ステップ 2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $- 2.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

ステップ 2.12.3.3

左辺 $- 2.5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.12.4

区間 $x > - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.4.1

区間 $x > - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.12.4.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

ステップ 2.12.4.3

左辺 $3.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 2$ 偽

$x > - 2$ 真

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < - 2$ 偽

$x > - 2$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 \leq x < - 3$ または $x \geq - 2$

ステップ 3

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

ステップ 6

線形代数 例

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