線形代数例

[\begin{matrix} 7 & 8 \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 7 & 8 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8

$7 (\frac{1}{3}) - \frac{2}{3} \cdot 8$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

7

$7$ と

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8

$\frac{7}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

ステップ 2.2.1.2

- \frac{2}{3} \cdot 8

$- \frac{2}{3} \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

8

$8$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})

$\frac{7}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

ステップ 2.2.1.2.2

- 8

$- 8$ と

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$ をまとめます。

\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

ステップ 2.2.1.2.3

- 8

$- 8$ に

2

$2$ をかけます。

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}

$\frac{7}{3} + \frac{- 16}{3}$

ステップ 2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

\frac{7}{3} - \frac{16}{3}

$\frac{7}{3} - \frac{16}{3}$

ステップ 2.2.2

公分母の分子をまとめます。

\frac{7 - 16}{3}

$\frac{7 - 16}{3}$

ステップ 2.2.3

7

$7$ から

16

$16$ を引きます。

\frac{- 9}{3}

$\frac{- 9}{3}$

ステップ 2.2.4

- 9

$- 9$ を

3

$3$ で割ります。

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 3} [\begin{matrix} \frac{1}{3} & - 8 - \frac{2}{3} & 7 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

ステップ 5

分数の前に負数を移動させます。

- \frac{1}{3} [\begin{matrix} \frac{1}{3} & - 8 - \frac{2}{3} & 7 \end{matrix}]

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} \frac{1}{3} & - 8 \\ - \frac{2}{3} & 7 \end{array}]$

ステップ 6

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ に行列の各要素を掛けます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 7.1

- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.1.1

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ に

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をかけます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.1.2

3

$3$ に

3

$3$ をかけます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.2

- \frac{1}{3} \cdot - 8

$- \frac{1}{3} \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

- 8

$- 8$ に

- 1

$- 1$ をかけます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & 8 (\frac{1}{3}) \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.2.2

8

$8$ と

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ - \frac{1}{3} (- \frac{2}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.3

$- \frac{1}{3} (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ 1 (\frac{1}{3}) \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{3}$ に

$1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.3.3

$\frac{1}{3}$ に

$\frac{2}{3}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{3 \cdot 3} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.3.4

$3$ に

$3$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 7.4

$- \frac{1}{3} \cdot 7$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1

$7$ に

$- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

ステップ 7.4.2

$- 7$ と

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

ステップ 7.5

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{9} & \frac{8}{3} \\ \frac{2}{9} & - \frac{7}{3} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例