線形代数例

$[\begin{array}{c} 2 & 2 \\ - 1 + 3 i & - 1 - 3 i \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (- 1 - 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 \cdot - 1 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 + 2 (- 3 i) - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$- 2 - 6 i - (- 1 + 3 i) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.4

分配則を当てはめます。

$- 2 - 6 i + (- - 1 - (3 i)) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 6 i + (1 - (3 i)) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 6 i + (1 - 3 i) \cdot 2$

ステップ 2.2.1.7

分配則を当てはめます。

$- 2 - 6 i + 1 \cdot 2 - 3 i \cdot 2$

ステップ 2.2.1.8

$2$ に $1$ をかけます。

$- 2 - 6 i + 2 - 3 i \cdot 2$

ステップ 2.2.1.9

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 2 - 6 i + 2 - 6 i$

ステップ 2.2.2

$- 2$ と $2$ をたし算します。

$0 - 6 i - 6 i$

ステップ 2.2.3

$0$ から $6 i$ を引きます。

$- 6 i - 6 i$

ステップ 2.2.4

$- 6 i$ から $6 i$ を引きます。

$- 12 i$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 12 i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 5

$\frac{1}{- 12 i}$ の分子と分母に $- 12 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$\frac{1}{- 12 i} \cdot \frac{i}{i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

まとめる。

$\frac{1 i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.2

$i$ に $1$ をかけます。

$\frac{i}{- 12 i i} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

括弧を付けます。

$\frac{i}{- 12 (i i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i)} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3.3

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{i}{- 12 (i^{1} i^{1})} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{i}{- 12 i^{1 + 1}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{i}{- 12 i^{2}} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 6.3.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{i}{- 12 \cdot - 1} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 7

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - (- 1 + 3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 8

分配則を当てはめます。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ - - 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - (3 i) & 2 \end{array}]$

ステップ 10

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{i}{12} [\begin{array}{c} - 1 - 3 i & - 2 \\ 1 - 3 i & 2 \end{array}]$

ステップ 11

$\frac{i}{12}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} (- 1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{i}{12} \cdot - 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.2

$\frac{i}{12}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.3.2

$3$ を $- 3 i$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.3.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.3.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.4

$\frac{i}{4}$ と $i$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.5

$i$ を $1$ 乗します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.6

$i$ を $1$ 乗します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{i \cdot - 1}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.1.1

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 \cdot i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.1.2

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.3

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.5

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.9.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.9.5.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.10

$- \frac{i}{12}$ と $\frac{1}{4}$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.11.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot - 2 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.11.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.11.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot (2 \cdot - 1) \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.11.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \cdot - 1 \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.12

$\frac{i}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{i \cdot - 1}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.13.1

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- 1 \cdot i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.13.2

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & \frac{- i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.14

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} (1 - 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.15

分配則を当てはめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} \cdot 1 + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.16

$\frac{i}{12}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{12} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.17

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.17.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (- 3 i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.17.2

$3$ を $- 3 i$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 (4)} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.17.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{3 \cdot 4} (3 (- i)) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.17.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{i}{4} (- i) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.18

$\frac{i}{4}$ と $i$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.19

$i$ を $1$ 乗します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.20

$i$ を $1$ 乗します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1} i^{1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.21

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{1 + 1}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.22

$1$ と $1$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{i^{2}}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.23

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.23.1

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - \frac{- 1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.23.2

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} - - \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.23.3

$- - \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.23.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + 1 (\frac{1}{4}) & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.23.3.2

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{i}{12} + \frac{1}{4} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.24

$\frac{i}{12}$ と $\frac{1}{4}$ を並べ替えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{12} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.25

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.25.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 (6)} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.25.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{2 \cdot 6} \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 12.25.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} - \frac{i}{12} & - \frac{i}{6} \\ \frac{1}{4} + \frac{i}{12} & \frac{i}{6} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例