線形代数例

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2

指数を足して $e^{t}$ に $e^{2 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$e^{2 t}$ を移動させます。

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2.3

$2 t$ と $t$ をたし算します。

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.4

指数を足して $e^{t}$ に $e^{2 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.4.1

$e^{2 t}$ を移動させます。

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

ステップ 2.2.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

ステップ 2.2.1.4.3

$2 t$ と $t$ をたし算します。

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

ステップ 2.2.2

$6 e^{3 t}$ から $2 e^{3 t}$ を引きます。

$4 e^{3 t}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

ステップ 5

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ を $4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ と $e^{2 t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4

$e^{2 t}$ と $e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$e^{3 t}$ を $e^{2 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$e^{3 t}$ を $2 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.6

$e^{2 t}$ と $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7

$e^{2 t}$ と $e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$e^{3 t}$ を $e^{2 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$e^{3 t}$ を $4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.2

$2$ を $4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.10

$e^{t}$ と $\frac{1}{2 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11

$e^{t}$ と $e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$e^{3 t}$ を $e^{t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.2.1

$e^{3 t}$ を $2 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 6.13

$3$ と $\frac{1}{4 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 6.14

$\frac{3}{4 e^{3 t}}$ と $e^{t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

ステップ 6.15

$e^{t}$ と $e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.15.1

$e^{3 t}$ を $3 e^{t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

ステップ 6.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.15.2.1

$e^{3 t}$ を $4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

ステップ 6.15.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

ステップ 6.15.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$

線形代数 例

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