線形代数例

[\begin{matrix} 3 e^{t} & e^{2 t} 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2

指数を足して

e^{t}

$e^{t}$ に

e^{2 t}

$e^{2 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

e^{2 t}

$e^{2 t}$ を移動させます。

3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.2.3

2 t

$2 t$ と

t

$t$ をたし算します。

3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.3

3

$3$ に

2

$2$ をかけます。

6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

ステップ 2.2.1.4

指数を足して

e^{t}

$e^{t}$ に

e^{2 t}

$e^{2 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.4.1

e^{2 t}

$e^{2 t}$ を移動させます。

6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

ステップ 2.2.1.4.2

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

ステップ 2.2.1.4.3

2 t

$2 t$ と

t

$t$ をたし算します。

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

ステップ 2.2.2

6 e^{3 t}

$6 e^{3 t}$ から

2 e^{3 t}

$2 e^{3 t}$ を引きます。

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{matrix} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

ステップ 5

\frac{1}{4 e^{3 t}}

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ に行列の各要素を掛けます。

[\begin{matrix} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

[\begin{matrix} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

2

$2$ を

4 e^{3 t}

$4 e^{3 t}$ で因数分解します。

⎡ ⎣ \begin{matrix} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ と

$e^{2 t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4

$e^{2 t}$ と

$e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$e^{3 t}$ を

$e^{2 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

$e^{3 t}$ を

$2 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.4.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.6

$e^{2 t}$ と

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7

$e^{2 t}$ と

$e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$e^{3 t}$ を

$e^{2 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.2.1

$e^{3 t}$ を

$4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.7.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.8

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

$2$ を

$- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.2

$2$ を

$4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.9.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.10

$e^{t}$ と

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11

$e^{t}$ と

$e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.1

$e^{3 t}$ を

$e^{t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.11.2.1

$e^{3 t}$ を

$2 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.11.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

ステップ 6.12

積の可換性を利用して書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 6.13

$3$ と

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

ステップ 6.14

$\frac{3}{4 e^{3 t}}$ と

$e^{t}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

ステップ 6.15

$e^{t}$ と

$e^{3 t}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.15.1

$e^{3 t}$ を

$3 e^{t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

ステップ 6.15.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.15.2.1

$e^{3 t}$ を

$4 e^{3 t}$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

ステップ 6.15.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

ステップ 6.15.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例