線形代数例

$[\begin{array}{c} 5 & 13 & 57 \\ 13 & 57 & 289 \\ 57 & 289 & 1569 \end{array}]$

ステップ 1

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 57 & 289 \\ 289 & 1569 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 57 & 289 \\ 289 & 1569 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 57 & 289 \\ 289 & 1569 \end{array} | - 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} | + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.2

$| \begin{array}{c} 57 & 289 \\ 289 & 1569 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 (57 \cdot 1569 - 289 \cdot 289) - 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} | + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$57$ に $1569$ をかけます。

$5 (89433 - 289 \cdot 289) - 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} | + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 289$ に $289$ をかけます。

$5 (89433 - 83521) - 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} | + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.2.2.2

$89433$ から $83521$ を引きます。

$5 \cdot 5912 - 13 | \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} | + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.3

$| \begin{array}{c} 13 & 289 \\ 57 & 1569 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot 5912 - 13 (13 \cdot 1569 - 57 \cdot 289) + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1.1

$13$ に $1569$ をかけます。

$5 \cdot 5912 - 13 (20397 - 57 \cdot 289) + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.1.2

$- 57$ に $289$ をかけます。

$5 \cdot 5912 - 13 (20397 - 16473) + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.3.2.2

$20397$ から $16473$ を引きます。

$5 \cdot 5912 - 13 \cdot 3924 + 57 | \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$

ステップ 1.4

$| \begin{array}{c} 13 & 57 \\ 57 & 289 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$5 \cdot 5912 - 13 \cdot 3924 + 57 (13 \cdot 289 - 57 \cdot 57)$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$13$ に $289$ をかけます。

$5 \cdot 5912 - 13 \cdot 3924 + 57 (3757 - 57 \cdot 57)$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 57$ に $57$ をかけます。

$5 \cdot 5912 - 13 \cdot 3924 + 57 (3757 - 3249)$

ステップ 1.4.2.2

$3757$ から $3249$ を引きます。

$5 \cdot 5912 - 13 \cdot 3924 + 57 \cdot 508$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

$5$ に $5912$ をかけます。

$29560 - 13 \cdot 3924 + 57 \cdot 508$

ステップ 1.5.1.2

$- 13$ に $3924$ をかけます。

$29560 - 51012 + 57 \cdot 508$

ステップ 1.5.1.3

$57$ に $508$ をかけます。

$29560 - 51012 + 28956$

ステップ 1.5.2

$29560$ から $51012$ を引きます。

$- 21452 + 28956$

ステップ 1.5.3

$- 21452$ と $28956$ をたし算します。

$7504$

ステップ 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} 5 & 13 & 57 & 1 & 0 & 0 \\ 13 & 57 & 289 & 0 & 1 & 0 \\ 57 & 289 & 1569 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & \frac{0}{5} & \frac{0}{5} \\ 13 & 57 & 289 & 0 & 1 & 0 \\ 57 & 289 & 1569 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 13 & 57 & 289 & 0 & 1 & 0 \\ 57 & 289 & 1569 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 13 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 13 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 13 - 13 \cdot 1 & 57 - 13 (\frac{13}{5}) & 289 - 13 (\frac{57}{5}) & 0 - 13 (\frac{1}{5}) & 1 - 13 \cdot 0 & 0 - 13 \cdot 0 \\ 57 & 289 & 1569 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{116}{5} & \frac{704}{5} & - \frac{13}{5} & 1 & 0 \\ 57 & 289 & 1569 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 57 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 57 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{116}{5} & \frac{704}{5} & - \frac{13}{5} & 1 & 0 \\ 57 - 57 \cdot 1 & 289 - 57 (\frac{13}{5}) & 1569 - 57 (\frac{57}{5}) & 0 - 57 (\frac{1}{5}) & 0 - 57 \cdot 0 & 1 - 57 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{116}{5} & \frac{704}{5} & - \frac{13}{5} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{704}{5} & \frac{4596}{5} & - \frac{57}{5} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{116}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{5}{116}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{5}{116} \cdot 0 & \frac{5}{116} \cdot \frac{116}{5} & \frac{5}{116} \cdot \frac{704}{5} & \frac{5}{116} (- \frac{13}{5}) & \frac{5}{116} \cdot 1 & \frac{5}{116} \cdot 0 \\ 0 & \frac{704}{5} & \frac{4596}{5} & - \frac{57}{5} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{176}{29} & - \frac{13}{116} & \frac{5}{116} & 0 \\ 0 & \frac{704}{5} & \frac{4596}{5} & - \frac{57}{5} & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{704}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - \frac{704}{5} R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{176}{29} & - \frac{13}{116} & \frac{5}{116} & 0 \\ 0 - \frac{704}{5} \cdot 0 & \frac{704}{5} - \frac{704}{5} \cdot 1 & \frac{4596}{5} - \frac{704}{5} \cdot \frac{176}{29} & - \frac{57}{5} - \frac{704}{5} (- \frac{13}{116}) & 0 - \frac{704}{5} \cdot \frac{5}{116} & 1 - \frac{704}{5} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{176}{29} & - \frac{13}{116} & \frac{5}{116} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1876}{29} & \frac{127}{29} & - \frac{176}{29} & 1 \end{array}]$

ステップ 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{29}{1876}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{29}{1876}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{176}{29} & - \frac{13}{116} & \frac{5}{116} & 0 \\ \frac{29}{1876} \cdot 0 & \frac{29}{1876} \cdot 0 & \frac{29}{1876} \cdot \frac{1876}{29} & \frac{29}{1876} \cdot \frac{127}{29} & \frac{29}{1876} (- \frac{176}{29}) & \frac{29}{1876} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.6.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{176}{29} & - \frac{13}{116} & \frac{5}{116} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{176}{29} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{176}{29} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 - \frac{176}{29} \cdot 0 & 1 - \frac{176}{29} \cdot 0 & \frac{176}{29} - \frac{176}{29} \cdot 1 & - \frac{13}{116} - \frac{176}{29} \cdot \frac{127}{1876} & \frac{5}{116} - \frac{176}{29} (- \frac{44}{469}) & 0 - \frac{176}{29} \cdot \frac{29}{1876} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.7.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & \frac{57}{5} & \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{57}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{57}{5} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{57}{5} \cdot 0 & \frac{13}{5} - \frac{57}{5} \cdot 0 & \frac{57}{5} - \frac{57}{5} \cdot 1 & \frac{1}{5} - \frac{57}{5} \cdot \frac{127}{1876} & 0 - \frac{57}{5} (- \frac{44}{469}) & 0 - \frac{57}{5} \cdot \frac{29}{1876} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{13}{5} & 0 & - \frac{5363}{9380} & \frac{2508}{2345} & - \frac{1653}{9380} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{13}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{13}{5} \cdot 0 & \frac{13}{5} - \frac{13}{5} \cdot 1 & 0 - \frac{13}{5} \cdot 0 & - \frac{5363}{9380} - \frac{13}{5} (- \frac{981}{1876}) & \frac{2508}{2345} - \frac{13}{5} \cdot \frac{1149}{1876} & - \frac{1653}{9380} - \frac{13}{5} (- \frac{44}{469}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 4.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{739}{938} & - \frac{981}{1876} & \frac{127}{1876} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

ステップ 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{739}{938} & - \frac{981}{1876} & \frac{127}{1876} \\ - \frac{981}{1876} & \frac{1149}{1876} & - \frac{44}{469} \\ \frac{127}{1876} & - \frac{44}{469} & \frac{29}{1876} \end{array}]$

線形代数 例

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