線形代数例

$[\begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} & x \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$\frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} x & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x \cdot x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x (x^{2} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2.2.2

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (x^{2} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2.2.2.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$x (x^{2} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2.2.2.3

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{6 \cdot 6}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 2.2.2.4

$6$ に $6$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} | - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{6} & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} x - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}))) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3.2.2.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6})) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{6 \cdot 6}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 3.2.2.4

$6$ に $6$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} | \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} - \frac{1}{6} & x \\ - \frac{1}{6} & - \frac{1}{6} \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6}) - (- \frac{1}{6} x))$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \frac{1}{6} (- \frac{1}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (1 (\frac{1}{6}) \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

ステップ 4.2.1.2

$\frac{1}{6}$ に $1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - (- \frac{1}{6} x))$

ステップ 4.2.1.3

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{6 \cdot 6} - (- \frac{1}{6} x))$

ステップ 4.2.1.4

$6$ に $6$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - (- \frac{1}{6} x))$

ステップ 4.2.2

$x$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} - - \frac{x}{6})$

ステップ 4.2.3

$- - \frac{x}{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + 1 \frac{x}{6})$

ステップ 4.2.3.2

$\frac{x}{6}$ に $1$ をかけます。

$x (x^{2} - \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 2} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x^{3} + x (- \frac{1}{36}) + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.3

$x$ と $\frac{1}{36}$ をまとめます。

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6} - \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.4

分配則を当てはめます。

$x^{3} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{x}{6}) + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.5

$\frac{1}{6} (- \frac{x}{6})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{x}{6}$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{6 \cdot 6} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.5.2

$6$ に $6$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{36}) - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.6

$\frac{1}{6} (- \frac{1}{36})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$\frac{1}{6}$ に $\frac{1}{36}$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{6 \cdot 36} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.6.2

$6$ に $36$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} (\frac{1}{36} + \frac{x}{6})$

ステップ 5.1.7

分配則を当てはめます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

ステップ 5.1.8

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{36}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1

$\frac{1}{36}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{36 \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

ステップ 5.1.8.2

$36$ に $6$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$

ステップ 5.1.9

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{x}{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.9.1

$\frac{x}{6}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{6 \cdot 6}$

ステップ 5.1.9.2

$6$ に $6$ をかけます。

$x^{3} - \frac{x}{36} - \frac{x}{36} - \frac{1}{216} - \frac{1}{216} - \frac{x}{36}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$x^{3} + \frac{- x - x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

ステップ 5.3

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} + \frac{- 2 x - x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

ステップ 5.4

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 1 - 1}{216}$

ステップ 5.5

$- 1$ から $1$ を引きます。

$x^{3} + \frac{- 3 x}{36} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$- 3$ と $36$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

$3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{36} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.2.1

$3$ を $36$ で因数分解します。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 (12)} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 12} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} + \frac{- x}{12} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 2}{216}$

ステップ 5.6.3

$- 2$ と $216$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 (- 1)}{216}$

ステップ 5.6.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.3.2.1

$2$ を $216$ で因数分解します。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

ステップ 5.6.3.2.2

共通因数を約分します。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 108}$

ステップ 5.6.3.2.3

式を書き換えます。

$x^{3} - \frac{x}{12} + \frac{- 1}{108}$

ステップ 5.6.4

分数の前に負数を移動させます。

$x^{3} - \frac{x}{12} - \frac{1}{108}$

線形代数 例

線形代数例