線形代数例

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

ステップ 2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

ステップ 2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

ステップ 2.2.1.2

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

ステップ 2.2.1.2.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

ステップ 2.2.1.2.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

ステップ 2.2.1.2.4

$3$ に $6$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

ステップ 2.2.2

$- \frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

ステップ 2.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $18$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.2.3.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

ステップ 2.2.3.2

$3$ に $6$ をかけます。

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 6 + 1}{18}$

ステップ 2.2.5

$- 6$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 5}{18}$

ステップ 2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{18}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

ステップ 5

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

ステップ 7

$\frac{18}{5}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

ステップ 8

$- \frac{18}{5}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.1

$- \frac{18}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.1.2

$3$ を $- 18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.1.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.1.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.2

$\frac{- 6}{5}$ と $4$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.4

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.5

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.5.1

$- \frac{18}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.5.2

$6$ を $- 18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.5.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.5.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.6

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.7

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.7.1

$- \frac{18}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.7.2

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.7.3

$3$ を $- 18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.7.4

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.7.5

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.8

$\frac{- 6}{5}$ と $- 1$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.9

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.10.1

$- \frac{18}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

ステップ 9.10.2

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

ステップ 9.10.3

$2$ を $- 18$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

ステップ 9.10.4

$2$ を $4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 9.10.5

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 9.10.6

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

ステップ 9.11

$\frac{- 9}{5}$ に $\frac{- 1}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 9.12

$- 9$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

ステップ 9.13

$5$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例