線形代数例

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

ステップ 2

Find the determinant.

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - 1$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

ステップ 2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1 - 2}{2}$

ステップ 2.2.5.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

ステップ 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 5

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 7

$- (1 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 7.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 7.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 8

$- 2$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

ステップ 9

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 9.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

ステップ 9.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

ステップ 9.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

ステップ 9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 9.4.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

ステップ 9.4.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例