線形代数例

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 2.2

$p$ に $1$ をかけます。

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$p$ に $1$ をかけます。

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$q$ に $1$ をかけます。

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

ステップ 4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.2

$p$ に $p$ をかけます。

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.4

分配則を当てはめます。

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.5

$- q \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.5.2

$q$ に $1$ をかけます。

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

ステップ 5.1.6

$q - 1$ に $1$ をかけます。

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

ステップ 5.2

$- p q$ から $q p$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$q$ を移動させます。

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

ステップ 5.2.2

$- p q$ から $p q$ を引きます。

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

ステップ 5.3

$q$ と $q$ をたし算します。

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$

線形代数 例

線形代数例