線形代数例

$[\begin{array}{c} a^{4} & b^{4} & c^{4} \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 & 1 \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{4} | \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$a^{4} | \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} b^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{4} (b^{2} \cdot 1 - c^{2}) - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.2

$b^{2}$ に $1$ をかけます。

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} | + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} a^{2} & c^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} \cdot 1 - c^{2}) + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} | \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} a^{2} & b^{2} \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} \cdot 1 - b^{2})$

ステップ 4.2

$a^{2}$ に $1$ をかけます。

$a^{4} (b^{2} - c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5

各項を簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$a^{4} b^{2} + a^{4} (- c^{2}) - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} (a^{2} - c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} - b^{4} (- c^{2}) + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} - 1 \cdot - 1 b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.5

各項を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + 1 b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.5.2

$b^{4}$ に $1$ をかけます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} (a^{2} - b^{2})$

ステップ 5.6

分配則を当てはめます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} a^{2} + c^{4} (- b^{2})$

ステップ 5.7

積の可換性を利用して書き換えます。

$a^{4} b^{2} - a^{4} c^{2} - b^{4} a^{2} + b^{4} c^{2} + c^{4} a^{2} - c^{4} b^{2}$

線形代数 例

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