線形代数例

$[\begin{array}{c} a^{11} & a^{12} & a^{13} \\ a^{21} & a^{22} & a^{23} \\ a^{31} & a^{32} & a^{33} \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$a^{11} | \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} | - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2

$| \begin{array}{c} a^{22} & a^{23} \\ a^{32} & a^{33} \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{11} (a^{22} a^{33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

指数を足して $a^{22}$ に $a^{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} (a^{22 + 33} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2.1.1.2

$22$ と $33$ をたし算します。

$a^{11} (a^{55} - a^{32} a^{23}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2

指数を足して $a^{32}$ に $a^{23}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$a^{23}$ を移動させます。

$a^{11} (a^{55} - (a^{23} a^{32})) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} (a^{55} - a^{23 + 32}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2.1.2.3

$23$ と $32$ をたし算します。

$a^{11} (a^{55} - a^{55}) - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 2.2.2

$a^{55}$ から $a^{55}$ を引きます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} | + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{23} \\ a^{31} & a^{33} \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21} a^{33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

指数を足して $a^{21}$ に $a^{33}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{21 + 33} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2.1.1.2

$21$ と $33$ をたし算します。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{31} a^{23}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2

指数を足して $a^{31}$ に $a^{23}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$a^{23}$ を移動させます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - (a^{23} a^{31})) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{23 + 31}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2.3

$23$ と $31$ をたし算します。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} (a^{54} - a^{54}) + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 3.2.2

$a^{54}$ から $a^{54}$ を引きます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} | \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} a^{21} & a^{22} \\ a^{31} & a^{32} \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21} a^{32} - a^{31} a^{22})$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

指数を足して $a^{21}$ に $a^{32}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{21 + 32} - a^{31} a^{22})$

ステップ 4.2.1.1.2

$21$ と $32$ をたし算します。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{31} a^{22})$

ステップ 4.2.1.2

指数を足して $a^{31}$ に $a^{22}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$a^{22}$ を移動させます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - (a^{22} a^{31}))$

ステップ 4.2.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{22 + 31})$

ステップ 4.2.1.2.3

$22$ と $31$ をたし算します。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} (a^{53} - a^{53})$

ステップ 4.2.2

$a^{53}$ から $a^{53}$ を引きます。

$a^{11} \cdot 0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$a^{11}$ に $0$ をかけます。

$0 - a^{12} \cdot 0 + a^{13} \cdot 0$

ステップ 5.1.2

$- a^{12} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 0 a^{12} + a^{13} \cdot 0$

ステップ 5.1.2.2

$0$ に $a^{12}$ をかけます。

$0 + 0 + a^{13} \cdot 0$

ステップ 5.1.3

$a^{13}$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 5.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

線形代数 例

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