線形代数例

$y + x = - 2$ , $3 + x = 3 - 2 y$

ステップ 1

Move all of the variables to the left side of each equation.

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ステップ 1.1

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$x + y = - 2$

$3 + x = 3 - 2 y$

ステップ 1.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$x + y = - 2$

$3 + x + 2 y = 3$

ステップ 1.3

変数を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 1.3.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 3 - 3$

ステップ 1.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

$x + y = - 2$

$x + 2 y = 0$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 3

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]$ .

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ステップ 3.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} |$

ステップ 3.2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3

行列式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$2 - 1 \cdot 1$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 - 1$

ステップ 3.3.2

$2$ から $1$ を引きます。

$1$

$D = 1$

ステップ 4

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

ステップ 5

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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ステップ 5.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} |$

ステップ 5.2

Find the determinant.

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ステップ 5.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 2 \cdot 2 + 0 \cdot 1$

ステップ 5.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 + 0 \cdot 1$

ステップ 5.2.2.1.2

$0$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 0$

ステップ 5.2.2.2

$- 4$ と $0$ をたし算します。

$- 4$

$D_{x} = - 4$

ステップ 5.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 5.4

Substitute $1$ for $D$ and $- 4$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{- 4}{1}$

ステップ 5.5

$- 4$ を $1$ で割ります。

$x = - 4$

ステップ 6

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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ステップ 6.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} - 2 \\ 0 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 6.2

Find the determinant.

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ステップ 6.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$

ステップ 6.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$0$ に $1$ をかけます。

$0 - 1 \cdot - 2$

ステップ 6.2.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 6.2.2.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

$D_{y} = 2$

ステップ 6.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 6.4

Substitute $1$ for $D$ and $2$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{2}{1}$

ステップ 6.5

$2$ を $1$ で割ります。

$y = 2$

ステップ 7

連立方程式の解を記載します。

$x = - 4$

$y = 2$

線形代数 例

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