線形代数例

$5 a + 3 b = 35$ , $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} 5 & 3 & 35 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

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ステップ 2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{5} & \frac{3}{5} & \frac{35}{5} \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} & 0 & \frac{2}{5} \end{array}]$

ステップ 2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{b} R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ \frac{1}{b} - \frac{1}{b} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{b} \cdot \frac{3}{5} & \frac{2}{5} - \frac{1}{b} \cdot 7 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & - \frac{3}{5 b} & \frac{2}{5} - \frac{7}{b} \end{array}]$

ステップ 2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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ステップ 2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{5 b}{3}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ - \frac{5 b}{3} \cdot 0 & - \frac{5 b}{3} (- \frac{3}{5 b}) & - \frac{5 b}{3} (\frac{2}{5} - \frac{7}{b}) \end{array}]$

ステップ 2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{5} & 7 \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

ステップ 2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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ステップ 2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{5} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{5} \cdot 0 & \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \cdot 1 & 7 - \frac{3}{5} (- \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}) \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

ステップ 2.4.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{2 b}{5} \\ 0 & 1 & - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3} \end{array}]$

ステップ 3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = - \frac{2 b}{3} + \frac{35}{3}$

ステップ 4

$b$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$b$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺に $\frac{2 b}{3}$ を足します。

$b + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.1.2

$b$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$b \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.1.3

$b$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{b \cdot 3}{3} + \frac{2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{b \cdot 3 + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$3$ を $b$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot b + 2 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.1.5.2

$3 b$ と $2 b$ をたし算します。

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$\frac{5 b}{3} = \frac{35}{3}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$5 b = 35$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.3

$5 b = 35$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$5 b = 35$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 b}{5} = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.3.2.1.2

$b$ を $1$ で割ります。

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = \frac{35}{5}$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

$35$ を $5$ で割ります。

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

$b = 7$

$a = \frac{2 b}{5}$

ステップ 5

解は式を真にする順序対の集合です。

$(\frac{2 b}{5}, 7)$

ステップ 6

各行で従属変数を解くことで拡張された行列の行を減少した形式に表れる各式を並べ替えることで解ベクトルを分解し、ベクトル等式を求めます。

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 b}{5} \\ 7 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例