線形代数例

$x + 2 y - 4 z = 4$ , $- 3 x - 6 y + 12 z = - 12$

ステップ 1

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 & - 6 & 12 & - 12 \end{array}]$

ステップ 2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 3 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 6 + 3 \cdot 2 & 12 + 3 \cdot - 4 & - 12 + 3 \cdot 4 \end{array}]$

ステップ 2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x + 2 y - 4 z = 4$

ステップ 4

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$2 y - 4 z = 4 - x$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺に $4 z$ を足します。

$2 y = 4 - x + 4 z$

ステップ 4.2

$2 y = 4 - x + 4 z$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2 y = 4 - x + 4 z$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{4}{2} + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1.1

$4$ を $2$ で割ります。

$y = 2 + \frac{- x}{2} + \frac{4 z}{2}$

ステップ 4.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{4 z}{2}$

ステップ 4.2.3.1.3

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.3.1

$2$ を $4 z$ で因数分解します。

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2}$

ステップ 4.2.3.1.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.3.1.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 (1)}$

ステップ 4.2.3.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 (2 z)}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.3.2.3

式を書き換えます。

$y = 2 - \frac{x}{2} + \frac{2 z}{1}$

ステップ 4.2.3.1.3.2.4

$2 z$ を $1$ で割ります。

$y = 2 - \frac{x}{2} + 2 z$

ステップ 5

解は式を真にする順序対の集合です。

$(x, 2 - \frac{x}{2} + 2 z, z)$

ステップ 6

各行で従属変数を解くことで拡張された行列の行を減少した形式に表れる各式を並べ替えることで解ベクトルを分解し、ベクトル等式を求めます。

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 2 - \frac{x}{2} + 2 z \\ z \end{array}]$

線形代数 例

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