線形代数例

$x + 3 y - 3 z - w = 11$ , $4 x + y + 2 z + 5 w = 3$ , $- 3 x - y + z - 3 w = - 7$ , $z - y - 3 z - 5 w = - 1$

ステップ 1

$z$ から $3 z$ を引きます。

$x + 3 y - 3 z - w = 11, 4 x + y + 2 z + 5 w = 3, - 3 x - y + z - 3 w = - 7, - y - 2 z - 5 w = - 1$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 & 3 & - 3 & 11 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ - 3 & - 3 & - 1 & 1 & - 7 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 1 \cdot 1 & - 1 \cdot 3 & - - 3 & - 1 \cdot 11 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ - 3 & - 3 & - 1 & 1 & - 7 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 5 & 4 & 1 & 2 & 3 \\ - 3 & - 3 & - 1 & 1 & - 7 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 5 - 5 \cdot 1 & 4 - 5 \cdot - 1 & 1 - 5 \cdot - 3 & 2 - 5 \cdot 3 & 3 - 5 \cdot - 11 \\ - 3 & - 3 & - 1 & 1 & - 7 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 9 & 16 & - 13 & 58 \\ - 3 & - 3 & - 1 & 1 & - 7 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 9 & 16 & - 13 & 58 \\ - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 1 & - 1 + 3 \cdot - 3 & 1 + 3 \cdot 3 & - 7 + 3 \cdot - 11 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 9 & 16 & - 13 & 58 \\ 0 & - 6 & - 10 & 10 & - 40 \\ - 5 & 0 & - 1 & - 2 & - 1 \end{array}]$

ステップ 3.4

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{1}$ to make the entry at $4, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 9 & 16 & - 13 & 58 \\ 0 & - 6 & - 10 & 10 & - 40 \\ - 5 + 5 \cdot 1 & 0 + 5 \cdot - 1 & - 1 + 5 \cdot - 3 & - 2 + 5 \cdot 3 & - 1 + 5 \cdot - 11 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 9 & 16 & - 13 & 58 \\ 0 & - 6 & - 10 & 10 & - 40 \\ 0 & - 5 & - 16 & 13 & - 56 \end{array}]$

ステップ 3.5

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{9}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ \frac{0}{9} & \frac{9}{9} & \frac{16}{9} & \frac{- 13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & - 6 & - 10 & 10 & - 40 \\ 0 & - 5 & - 16 & 13 & - 56 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & - 6 & - 10 & 10 & - 40 \\ 0 & - 5 & - 16 & 13 & - 56 \end{array}]$

ステップ 3.6

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + 6 R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 + 6 \cdot 0 & - 6 + 6 \cdot 1 & - 10 + 6 (\frac{16}{9}) & 10 + 6 (- \frac{13}{9}) & - 40 + 6 (\frac{58}{9}) \\ 0 & - 5 & - 16 & 13 & - 56 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 & - 5 & - 16 & 13 & - 56 \end{array}]$

ステップ 3.7

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + 5 R_{2}$ to make the entry at $4, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & - 16 + 5 (\frac{16}{9}) & 13 + 5 (- \frac{13}{9}) & - 56 + 5 (\frac{58}{9}) \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & - \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{64}{9} & \frac{52}{9} & - \frac{214}{9} \end{array}]$

ステップ 3.8

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{2}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} & \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} & \frac{3}{2} (- \frac{4}{3}) \\ 0 & 0 & - \frac{64}{9} & \frac{52}{9} & - \frac{214}{9} \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & - \frac{64}{9} & \frac{52}{9} & - \frac{214}{9} \end{array}]$

ステップ 3.9

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + \frac{64}{9} R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

Perform the row operation $R_{4} = R_{4} + \frac{64}{9} R_{3}$ to make the entry at $4, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 \\ 0 + \frac{64}{9} \cdot 0 & 0 + \frac{64}{9} \cdot 0 & - \frac{64}{9} + \frac{64}{9} \cdot 1 & \frac{52}{9} + \frac{64}{9} \cdot 2 & - \frac{214}{9} + \frac{64}{9} \cdot - 2 \end{array}]$

ステップ 3.9.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 20 & - 38 \end{array}]$

ステップ 3.10

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

Multiply each element of $R_{4}$ by $\frac{1}{20}$ to make the entry at $4, 4$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 \\ \frac{0}{20} & \frac{0}{20} & \frac{0}{20} & \frac{20}{20} & \frac{- 38}{20} \end{array}]$

ステップ 3.10.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 2 & - 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.11

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{4}$ to make the entry at $3, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & - 2 - 2 (- \frac{19}{10}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.11.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & - \frac{13}{9} & \frac{58}{9} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.12

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{13}{9} R_{4}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.12.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{13}{9} R_{4}$ to make the entry at $2, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 + \frac{13}{9} \cdot 0 & 1 + \frac{13}{9} \cdot 0 & \frac{16}{9} + \frac{13}{9} \cdot 0 & - \frac{13}{9} + \frac{13}{9} \cdot 1 & \frac{58}{9} + \frac{13}{9} (- \frac{19}{10}) \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.12.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 3 & - 11 \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & 0 & \frac{37}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.13

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{4}$ to make the entry at $1, 4$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 (- \frac{19}{10}) \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & 0 & \frac{37}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.13.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 0 & - \frac{53}{10} \\ 0 & 1 & \frac{16}{9} & 0 & \frac{37}{10} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.14

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{16}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.14.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - \frac{16}{9} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 0 & - \frac{53}{10} \\ 0 - \frac{16}{9} \cdot 0 & 1 - \frac{16}{9} \cdot 0 & \frac{16}{9} - \frac{16}{9} \cdot 1 & 0 - \frac{16}{9} \cdot 0 & \frac{37}{10} - \frac{16}{9} \cdot \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.14.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 3 & 0 & - \frac{53}{10} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.15

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.15.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & - \frac{53}{10} + 3 (\frac{9}{5}) \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.15.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 & 0 & \frac{1}{10} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.16

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 3.16.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{9}{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & - \frac{19}{10} \end{array}]$

ステップ 4

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$w = \frac{3}{5}$

$x = \frac{1}{2}$

$y = \frac{9}{5}$

$z = - \frac{19}{10}$

ステップ 5

解は式を真にする順序対の集合です。

$(\frac{3}{5}, \frac{1}{2}, \frac{9}{5}, - \frac{19}{10})$

ステップ 6

各行で従属変数を解くことで拡張された行列の行を減少した形式に表れる各式を並べ替えることで解ベクトルを分解し、ベクトル等式を求めます。

$X = [\begin{array}{c} w \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{5} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{9}{5} \\ - \frac{19}{10} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例