線形代数例

$- 3 x - 4 y = 2$ , $8 y = - 6 x - 4$

ステップ 1

方程式の両辺に $6 x$ を足します。

$- 3 x - 4 y = 2, 8 y + 6 x = - 4$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で書きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & - 4 & 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

ステップ 3

行を減らし、変数の1つを削除します。

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ステップ 3.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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ステップ 3.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 4 & - \frac{1}{3} \cdot 2 \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 & 8 & - 4 \end{array}]$

ステップ 3.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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ステップ 3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 6 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 6 - 6 \cdot 1 & 8 - 6 (\frac{4}{3}) & - 4 - 6 (- \frac{2}{3}) \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{4}{3} & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

$x + \frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3}$

ステップ 5

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$\frac{4 y}{3} = - \frac{2}{3} - x$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $\frac{3}{4}$ を掛けます。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3}$ を簡約します。

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ステップ 5.3.1.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3.1.1.1.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3.1.1.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1.1.2.1

$4$ を $4 y$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} (4 (y)) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3.1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4} (4 y) = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3.1.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$

ステップ 5.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{3}{4} (- \frac{2}{3} - x)$ を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{3}{4} (- \frac{2}{3}) + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$- \frac{2}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 2}{3} + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{4} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2 (2)} \cdot - 2 + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.3.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.3.3

共通因数を約分します。

$y = \frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1) + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.3.4

式を書き換えます。

$y = \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.4

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$y = \frac{- 1}{2} + \frac{3}{4} (- x)$

ステップ 5.3.2.1.5

$\frac{3}{4}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{- 1}{2} - \frac{3 x}{4}$

ステップ 5.3.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1}{2} - \frac{3 x}{4}$

ステップ 5.4

$- \frac{1}{2}$ と $- \frac{3 x}{4}$ を並べ替えます。

$y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2}$

ステップ 6

解は式を真にする順序対の集合です。

$(x, - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2})$

ステップ 7

各行で従属変数を解くことで拡張された行列の行を減少した形式に表れる各式を並べ替えることで解ベクトルを分解し、ベクトル等式を求めます。

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{2} \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例