線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 - x & 1 & - 2 \\ - 1 & 2 - x & 1 \\ 0 & 1 & - 1 - x \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$

ステップ 2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 2 - x & 1 \end{array} |$ をかけます。

$(1 - x) | \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3

$| \begin{array}{c} 2 - x & 1 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(1 - x) ((2 - x) (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 - x) (- 1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$(1 - x) (2 (- 1 - x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x (- 1 - x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(1 - x) (2 \cdot - 1 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 + 2 (- x) - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x - x \cdot - 1 - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.3

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + 1 x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.3.2

$x$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - x (- x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + 1 x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - 2 x + x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 2 x$ と $x$ をたし算します。

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (- 2 - x + x^{2} - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 3.2.2

$- 2$ から $1$ を引きます。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} | + 0$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 - x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (1 (- 1 - x) - 1 \cdot - 2) + 0$

ステップ 4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- 1 - x$ に $1$ をかけます。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x - 1 \cdot - 2) + 0$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- 1 - x + 2) + 0$

ステップ 4.2.2

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1) + 0$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$ と $0$ をたし算します。

$(1 - x) (- x + x^{2} - 3) + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(1 - x) (- x + x^{2} - 3)$ を展開します。

$1 (- x) + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- x$ に $1$ をかけます。

$- x + 1 x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- x + x^{2} + 1 \cdot - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- x + x^{2} - 3 - x (- x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.5.1

$x$ を移動させます。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$- x + x^{2} - 3 - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- x + x^{2} - 3 + 1 x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x \cdot x^{2} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.8

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.8.1

$x^{2}$ を移動させます。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.8.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.8.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - (x^{2} x^{1}) - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.8.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{2 + 1} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.8.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} - x \cdot - 3 + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.2.9

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- x + x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 3 x + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.3

$- x$ と $3 x$ をたし算します。

$x^{2} - 3 + x^{2} - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.4

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x + 1 (- x + 1)$

ステップ 5.2.5

$- x + 1$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} - 3 - x^{3} + 2 x - x + 1$

ステップ 5.3

$- 3$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} - x^{3} + 2 x - x - 2$

ステップ 5.4

$2 x$ から $x$ を引きます。

$2 x^{2} - x^{3} + x - 2$

線形代数 例

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