線形代数例

$[\begin{array}{c} x & 1 & 0 & 0 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 & x \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$

ステップ 1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 1.11

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ をかけます。

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 3

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$x | \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 4.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 4.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 4.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 4.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 4.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 4.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 4.1.9

Add the terms together.

$x (x | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.2

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x (x \cdot x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x (x (x^{2} - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.3

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.3.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$x$ に $1$ をかけます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.3.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4

$| \begin{array}{c} 1 & x \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.4.2

$1$ に $1$ をかけます。

$x (x (x^{2} - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.1

分配則を当てはめます。

$x (x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x (x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x (x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$x (x^{3} + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.3

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x (x^{3} - 1 \cdot x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x (x^{3} - x - 1 (x - 1) + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.5

分配則を当てはめます。

$x (x^{3} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.6

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x (x^{3} - x - x - 1 \cdot - 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 (1 - x)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.1.8

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$x (x^{3} - x - x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x (x^{3} - 2 x + 1 + 1 - x) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.3

$- 2 x$ から $x$ を引きます。

$x (x^{3} - 3 x + 1 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 4.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 5

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

ステップ 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

ステップ 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$

ステップ 5.1.9

Add the terms together.

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

ステップ 5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ をかけます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |) + 0 + 0$

ステップ 5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ x & 1 \end{array} |$ をかけます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 | \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4

$| \begin{array}{c} x & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x \cdot x - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1 \cdot 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.4.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

$1 (x^{2} - 1)$ と $0$ をたし算します。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1) + 0) + 0 + 0$

ステップ 5.5.1.2

$1 (x^{2} - 1)$ と $0$ をたし算します。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (1 (x^{2} - 1)) + 0 + 0$

ステップ 5.5.2

$x^{2} - 1$ に $1$ をかけます。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$

ステップ 6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ と $0$ をたし算します。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1) + 0$

ステップ 6.1.2

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$ と $0$ をたし算します。

$x (x^{3} - 3 x + 2) - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分配則を当てはめます。

$x \cdot x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{1} x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{1 + 3} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.2.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$x^{4} + x (- 3 x) + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{4} - 3 x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.2.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{4} - 3 x \cdot x + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$x$ を移動させます。

$x^{4} - 3 (x \cdot x) + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 \cdot x - 1 (x^{2} - 1)$

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 (x^{2} - 1)$

ステップ 6.2.4

分配則を当てはめます。

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.5

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.2.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - x^{2} + 1$

ステップ 6.3

$- 3 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 4 x^{2} + 2 x + 1$

線形代数 例

線形代数例