線形代数例

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

ステップ 1.2

サイズ $3$ の単位行列または恒等行列は $3 \times 3$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ I_{3})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{3}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.6.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.7.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.7.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.8.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.8.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.5

$4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 7 - λ & 0 & 4 \\ 0 & 10 - λ & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

ステップ 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$

ステップ 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} | + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.2

$0$ に $| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 0 & - 8 - λ \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.5.3

$0$ に $| \begin{array}{c} 7 - λ & 0 \\ 4 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) | \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} | + 0$

ステップ 1.5.4

$| \begin{array}{c} 7 - λ & 4 \\ 4 & - 8 - λ \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) ((7 - λ) (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(7 - λ) (- 8 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 (- 8 - λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ (- 8 - λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (7 \cdot - 8 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.1

$7$ に $- 8$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + 7 (- λ) - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ - λ \cdot - 8 - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - λ (- λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + 1 λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 - 7 λ + 8 λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.2.2

$- 7 λ$ と $8 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 4 \cdot 4) + 0$

ステップ 1.5.4.2.1.3

$- 4$ に $4$ をかけます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (- 56 + λ + λ^{2} - 16) + 0$

ステップ 1.5.4.2.2

$- 56$ から $16$ を引きます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ + λ^{2} - 72) + 0$

ステップ 1.5.4.2.3

$λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = 0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

ステップ 1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$0 + (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1.1

$0$ と $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ をたし算します。

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72) + 0$

ステップ 1.5.5.1.2

$(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = (10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$

ステップ 1.5.5.2

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(10 - λ) (λ^{2} + λ - 72)$ を展開します。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ + 10 \cdot - 72 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.1

$10$ に $- 72$ をかけます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.2

指数を足して $λ$ に $λ^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.2.1

$λ^{2}$ を移動させます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.2.2

$λ^{2}$ に $λ$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.2.2.1

$λ$ を $1$ 乗します。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{2 + 1} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ \cdot λ - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.3

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.3.3.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - (λ \cdot λ) - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.3.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} - λ \cdot - 72$

ステップ 1.5.5.3.4

$- 72$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 10 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} - λ^{2} + 72 λ$

ステップ 1.5.5.4

$10 λ^{2}$ から $λ^{2}$ を引きます。

$p (λ) = 9 λ^{2} + 10 λ - 720 - λ^{3} + 72 λ$

ステップ 1.5.5.5

$10 λ$ と $72 λ$ をたし算します。

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - 720 - λ^{3}$

ステップ 1.5.5.6

$- 720$ を移動させます。

$p (λ) = 9 λ^{2} + 82 λ - λ^{3} - 720$

ステップ 1.5.5.7

$82 λ$ を移動させます。

$p (λ) = 9 λ^{2} - λ^{3} + 82 λ - 720$

ステップ 1.5.5.8

$9 λ^{2}$ と $- λ^{3}$ を並べ替えます。

$p (λ) = - λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

有理根検定を用いて $- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

$q = \pm 1$

ステップ 1.7.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 720, \pm 2, \pm 360, \pm 3, \pm 240, \pm 4, \pm 180, \pm 5, \pm 144, \pm 6, \pm 120, \pm 8, \pm 90, \pm 9, \pm 80, \pm 10, \pm 72, \pm 12, \pm 60, \pm 15, \pm 48, \pm 16, \pm 45, \pm 18, \pm 40, \pm 20, \pm 36, \pm 24, \pm 30$

ステップ 1.7.1.1.3

$8$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $8$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.3.1

$8$ を多項式に代入します。

$- 8^{3} + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.2

$8$ を $3$ 乗します。

$- 1 \cdot 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.3

$- 1$ に $512$ をかけます。

$- 512 + 9 \cdot 8^{2} + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.4

$8$ を $2$ 乗します。

$- 512 + 9 \cdot 64 + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.5

$9$ に $64$ をかけます。

$- 512 + 576 + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.6

$- 512$ と $576$ をたし算します。

$64 + 82 \cdot 8 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.7

$82$ に $8$ をかけます。

$64 + 656 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.8

$64$ と $656$ をたし算します。

$720 - 720$

ステップ 1.7.1.1.3.9

$720$ から $720$ を引きます。

$0$

ステップ 1.7.1.1.4

$8$ は既知の根なので、多項式を $λ - 8$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720}{λ - 8}$

ステップ 1.7.1.1.5

$- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ を $λ - 8$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$λ$

$8$

$λ^{3}$

$9 λ^{2}$

$82 λ$

$720$

ステップ 1.7.1.1.5.2

被除数 $- λ^{3}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$

ステップ 1.7.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			-	$λ^{3}$	+	$8 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $- λ^{3} + 8 λ^{2}$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$

ステップ 1.7.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.7

被除数 $λ^{2}$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					+	$λ^{2}$	-	$8 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $λ^{2} - 8 λ$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$

ステップ 1.7.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

ステップ 1.7.1.1.5.12

被除数 $90 λ$ の最高次項を除数 $λ$ の最高次項で割ります。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$

ステップ 1.7.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							+	$90 λ$	-	$720$

ステップ 1.7.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $90 λ - 720$ の符号をすべて変更します。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$

ステップ 1.7.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

			-	$λ^{2}$	+	$λ$	+	$90$
$λ$	-	$8$	-	$λ^{3}$	+	$9 λ^{2}$	+	$82 λ$	-	$720$
			+	$λ^{3}$	-	$8 λ^{2}$
					+	$λ^{2}$	+	$82 λ$
					-	$λ^{2}$	+	$8 λ$
							+	$90 λ$	-	$720$
							-	$90 λ$	+	$720$
										$0$

ステップ 1.7.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$- λ^{2} + λ + 90$

ステップ 1.7.1.1.6

$- λ^{3} + 9 λ^{2} + 82 λ - 720$ を因数の集合として書き換えます。

$(λ - 8) (- λ^{2} + λ + 90) = 0$

ステップ 1.7.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 90 = - 90$ で和が $b = 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.1.1

$1$ を掛けます。

$(λ - 8) (- λ^{2} + 1 λ + 90) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.2

$1$ を $- 9$ プラス $10$ に書き換える

$(λ - 8) (- λ^{2} + (- 9 + 10) λ + 90) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(λ - 8) (- λ^{2} - 9 λ + 10 λ + 90) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(λ - 8) ((- λ^{2} - 9 λ) + 10 λ + 90) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(λ - 8) (λ (- λ - 9) - 10 (- λ - 9)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.1.3

最大公約数 $- λ - 9$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(λ - 8) ((- λ - 9) (λ - 10)) = 0$

ステップ 1.7.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$

ステップ 1.7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$λ - 8 = 0$

$- λ - 9 = 0$

$λ - 10 = 0$

ステップ 1.7.3

$λ - 8$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

$λ - 8$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 8 = 0$

ステップ 1.7.3.2

方程式の両辺に $8$ を足します。

$λ = 8$

ステップ 1.7.4

$- λ - 9$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$- λ - 9$ が $0$ に等しいとします。

$- λ - 9 = 0$

ステップ 1.7.4.2

$λ$ について $- λ - 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$- λ = 9$

ステップ 1.7.4.2.2

$- λ = 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.1

$- λ = 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{λ}{1} = \frac{9}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.2.2

$λ$ を $1$ で割ります。

$λ = \frac{9}{- 1}$

ステップ 1.7.4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.2.2.3.1

$9$ を $- 1$ で割ります。

$λ = - 9$

ステップ 1.7.5

$λ - 10$ を $0$ に等しくし、 $λ$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$λ - 10$ が $0$ に等しいとします。

$λ - 10 = 0$

ステップ 1.7.5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$λ = 10$

ステップ 1.7.6

最終解は $(λ - 8) (- λ - 9) (λ - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$λ = 8, - 9, 10$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 8$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 8 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- 8$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 1 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & - 8 \cdot 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.6

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.7

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & - 8 \cdot 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.8

$- 8$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.9

$- 8$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 8 & 0 & 0 \\ 0 & - 8 & 0 \\ 0 & 0 & - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 7 - 8 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$7$ から $8$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 8 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$10$ から $8$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 8 \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$- 8$ から $8$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = 8$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- 1$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - - 1 & - 0 & - 1 \cdot 4 & - 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 16 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 16 - 4 \cdot - 4 & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 4 z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 z \\ 0 \\ z \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 9$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + 9 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$9$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$9$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 1 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.5

$9$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 9 \cdot 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.6

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 9 \cdot 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.7

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 9 \cdot 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.8

$9$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.9

$9$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 7 + 9 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$7$ と $9$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 10 + 9 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$10$ と $9$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 + 9 \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$- 8$ と $9$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 \\ 0 & 19 & 0 \\ 4 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = - 9$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 16 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{16}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{16}{16} & \frac{0}{16} & \frac{4}{16} & \frac{0}{16} \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 (\frac{1}{4}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 19 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{19}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ \frac{0}{19} & \frac{19}{19} & \frac{0}{19} & \frac{0}{19} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{4} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{4} \\ 0 \\ z \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 10$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 5.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 10$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$- 10$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.2

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.3

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.4

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.5

$- 10$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.6

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.7

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.8

$- 10$ に $0$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 5.2.1.2.9

$- 10$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 7 & 0 & 4 \\ 0 & 10 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 7 - 10 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$7$ から $10$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 + 0 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 + 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.4

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 10 - 10 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.5

$10$ から $10$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 + 0 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.7

$4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 + 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.8

$0$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 8 - 10 \end{array}]$

ステップ 5.2.3.9

$- 8$ から $10$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 \end{array}]$

ステップ 5.3

Find the null space when $λ = 10$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot 4 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & - 18 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 4 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 - 4 \cdot 1 & 0 - 4 \cdot 0 & - 18 - 4 (- \frac{4}{3}) & 0 - 4 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 3$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{38}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{38}$ to make the entry at $2, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} \cdot 0 & - \frac{3}{38} (- \frac{38}{3}) & - \frac{3}{38} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{4}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{4}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 & - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{4}{3} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.2.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x = 0$

$z = 0$

$0 = 0$

ステップ 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ y \\ 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

ステップ 5.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

ステップ 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例