線形代数例

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$

ステップ 1

固有値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

公式を設定し特性方程式 $p (λ)$ を求めます。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

ステップ 1.2

サイズ $2$ の単位行列または恒等行列は $2 \times 2$ 正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 1.3

既知の値を $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}]$ を $A$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ I_{2})$

ステップ 1.3.2

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ を $I_{2}$ に代入します。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$- λ$ に行列の各要素を掛けます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.3.2

$0$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

ステップ 1.4.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

ステップ 1.4.2

対応する要素を足します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$0.4$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - λ \end{array}]$

ステップ 1.4.3.2

$- 0.2$ と $0$ をたし算します。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1.3 - λ & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - λ \end{array}]$

ステップ 1.5

Find the determinant.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$p (λ) = (1.3 - λ) (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1.3 - λ) (1.9 - λ)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1.3 (1.9 - λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ (1.9 - λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$p (λ) = 1.3 \cdot 1.9 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.1

$1.3$ に $1.9$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 + 1.3 (- λ) - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.2

$- 1$ に $1.3$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - λ \cdot 1.9 - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.3

$1.9$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - λ (- λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5

指数を足して $λ$ に $λ$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.1

$λ$ を移動させます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.5.2

$λ$ に $λ$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + 1 λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ に $1$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 1.3 λ - 1.9 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.2.2

$- 1.3 λ$ から $1.9 λ$ を引きます。

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - (- 0.2 \cdot 0.4)$

ステップ 1.5.2.1.3

$- (- 0.2 \cdot 0.4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.3.1

$- 0.2$ に $0.4$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} - - 0.08$

ステップ 1.5.2.1.3.2

$- 1$ に $- 0.08$ をかけます。

$p (λ) = 2.47 - 3.2 λ + λ^{2} + 0.08$

ステップ 1.5.2.2

$2.47$ と $0.08$ をたし算します。

$p (λ) = - 3.2 λ + λ^{2} + 2.55$

ステップ 1.5.2.3

$- 3.2 λ$ と $λ^{2}$ を並べ替えます。

$p (λ) = λ^{2} - 3.2 λ + 2.55$

ステップ 1.6

特性多項式を $0$ と等しくし、固有値 $λ$ を求めます。

$λ^{2} - 3.2 λ + 2.55 = 0$

ステップ 1.7

$λ$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.7.2

$a = 1$ 、 $b = - 3.2$ 、および $c = 2.55$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $λ$ の値を求めます。

$\frac{3.2 \pm \sqrt{{(- 3.2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2.55)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.1

$- 3.2$ を $2$ 乗します。

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 1 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 2.55$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 4 \cdot 2.55}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.2.2

$- 4$ に $2.55$ をかけます。

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{10.24 - 10.2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.3

$10.24$ から $10.2$ を引きます。

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{0.04}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.4

$0.04$ を ${0.2}^{2}$ に書き換えます。

$λ = \frac{3.2 \pm \sqrt{{0.2}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$λ = \frac{3.2 \pm 0.2}{2}$

ステップ 1.7.3.3

$\frac{3.2 \pm 0.2}{2}$ を簡約します。

$λ = \frac{16 \pm 1}{10}$

ステップ 1.7.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$λ = \frac{17}{10}, \frac{3}{2}$

ステップ 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

ステップ 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{17}{10}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{17}{10} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$- \frac{17}{10}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} \cdot 1 & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & - \frac{17}{10} \cdot 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2

$- \frac{17}{10} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 (\frac{17}{10}) \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{17}{10}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ - \frac{17}{10} \cdot 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3

$- \frac{17}{10} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 (\frac{17}{10}) & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{17}{10}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 3.2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{17}{10} & 0 \\ 0 & - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$1.3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.2

$1.3$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 10 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$1.3$ に $10$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{13 - 17}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.4.2

$13$ から $17$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 4}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5

$- 4$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{2 (- 2)}{10} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.5.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.5.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.7

$0.4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.8

$- 0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.9

$1.9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{10}{10}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.10

$1.9$ と $\frac{10}{10}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10}{10} - \frac{17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 10 - 17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.12.1

$1.9$ に $10$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{19 - 17}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.12.2

$19$ から $17$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13

$2$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.13.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 (1)}{10} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.13.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.2.2

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5} \end{array}]$

ステップ 3.2.3.13.2.3

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} \end{array}]$

ステップ 3.3

Find the null space when $λ = \frac{17}{10}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{5} & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{5}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{2} (- \frac{2}{5}) & - \frac{5}{2} \cdot 0.4 & - \frac{5}{2} \cdot 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 & \frac{1}{5} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & \frac{1}{5} + 0.2 \cdot - 1 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - y = 0$

$0 = 0$

ステップ 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} y \\ y \end{array}]$

ステップ 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

既知数を公式に代入します。

$N ([\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] - \frac{3}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$- \frac{3}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & - \frac{3}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.2.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 (\frac{3}{2}) \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.2.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ - \frac{3}{2} \cdot 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3

$- \frac{3}{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.2.3.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 (\frac{3}{2}) & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.3.2

$0$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.1.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 1.3 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.2

対応する要素を足します。

$[\begin{array}{c} 1.3 - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3

Simplify each element.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$1.3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1.3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.2

$1.3$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} \frac{1.3 \cdot 2 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.4.1

$1.3$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} \frac{2.6 - 3}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.4.2

$2.6$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.4}{2} & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.5

$- 0.4$ を $2$ で割ります。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 + 0 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.6

$0.4$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 + 0 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.7

$- 0.2$ と $0$ をたし算します。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.8

$1.9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 1.9 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.9

$1.9$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.10

公分母の分子をまとめます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{1.9 \cdot 2 - 3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.11.1

$1.9$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{3.8 - 3}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.11.2

$3.8$ から $3$ を引きます。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & \frac{0.8}{2} \end{array}]$

ステップ 4.2.3.12

$0.8$ を $2$ で割ります。

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 \\ - 0.2 & 0.4 \end{array}]$

ステップ 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3}{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 0.2 & 0.4 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{- 0.2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 0.2}{- 0.2} & \frac{0.4}{- 0.2} & \frac{0}{- 0.2} \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.1.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 & 0.4 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + 0.2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ - 0.2 + 0.2 \cdot 1 & 0.4 + 0.2 \cdot - 2 & 0 + 0.2 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2.2.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 2 y = 0$

$0 = 0$

ステップ 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 y \\ y \end{array}]$

ステップ 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

ステップ 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

ステップ 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}]}$

線形代数 例

線形代数例