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線形代数 例
ステップ 1
ステップ 1.1
公式を設定し特性方程式を求めます。
ステップ 1.2
サイズの単位行列または恒等行列は正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。
ステップ 1.3
既知の値をに代入します。
ステップ 1.3.1
をに代入します。
ステップ 1.3.2
をに代入します。
ステップ 1.4
簡約します。
ステップ 1.4.1
各項を簡約します。
ステップ 1.4.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 1.4.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 1.4.1.2.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.2
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.2.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.2.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.3
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.3.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.3.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.4
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.4.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.4.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.5
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.6
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.6.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.6.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.7
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.7.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.7.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.8
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.8.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.8.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.9
にをかけます。
ステップ 1.4.2
対応する要素を足します。
ステップ 1.4.3
Simplify each element.
ステップ 1.4.3.1
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.2
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.3
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.4
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.5
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.6
とをたし算します。
ステップ 1.5
Find the determinant.
ステップ 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
ステップ 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
ステップ 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
ステップ 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.9
Add the terms together.
ステップ 1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3
にをかけます。
ステップ 1.5.4
の値を求めます。
ステップ 1.5.4.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 1.5.4.2
行列式を簡約します。
ステップ 1.5.4.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.5.4.2.1.1
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 1.5.4.2.1.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.1.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.2
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.1
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.2
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3
を掛けます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3.1
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.3.2
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.6
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.1.7
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.2.2
とをたし算します。
ステップ 1.5.4.2.1.2.3
とをたし算します。
ステップ 1.5.4.2.1.3
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.2
からを引きます。
ステップ 1.5.5
行列式を簡約します。
ステップ 1.5.5.1
の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 1.5.5.1.1
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.1.2
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.2
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 1.5.5.2.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.5.2.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.5.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.5.3
各項を簡約します。
ステップ 1.5.5.3.1
をに書き換えます。
ステップ 1.5.5.3.2
にをかけます。
ステップ 1.5.5.3.3
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.5.5.3.3.1
を移動させます。
ステップ 1.5.5.3.3.2
にをかけます。
ステップ 1.5.5.3.3.2.1
を乗します。
ステップ 1.5.5.3.3.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.5.5.3.3.3
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.3.4
にをかけます。
ステップ 1.5.5.4
を移動させます。
ステップ 1.5.5.5
とを並べ替えます。
ステップ 1.6
特性多項式をと等しくし、固有値を求めます。
ステップ 1.7
について解きます。
ステップ 1.7.1
方程式の左辺を因数分解します。
ステップ 1.7.1.1
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.1
前の2項と後ろの2項をまとめます。
ステップ 1.7.1.1.2
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 1.7.1.2
最大公約数を因数分解して、多項式を因数分解します。
ステップ 1.7.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 1.7.3
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.7.3.1
がに等しいとします。
ステップ 1.7.3.2
についてを解きます。
ステップ 1.7.3.2.1
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.7.3.2.2
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 1.7.3.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 1.7.3.2.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 1.7.3.2.2.2.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 1.7.3.2.2.2.2
をで割ります。
ステップ 1.7.3.2.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 1.7.3.2.2.3.1
をで割ります。
ステップ 1.7.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.7.4.1
がに等しいとします。
ステップ 1.7.4.2
についてを解きます。
ステップ 1.7.4.2.1
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.7.4.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 1.7.4.2.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 1.7.4.2.3.1
まず、の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
ステップ 1.7.4.2.3.2
次に、の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
ステップ 1.7.4.2.3.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 1.7.5
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
ステップ 3
ステップ 3.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 3.2
簡約します。
ステップ 3.2.1
対応する要素を足します。
ステップ 3.2.2
Simplify each element.
ステップ 3.2.2.1
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.3
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.4
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.5
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.6
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.7
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.8
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.9
とをたし算します。
ステップ 3.3
Find the null space when .
ステップ 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 3.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.3
Swap with to put a nonzero entry at .
ステップ 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 3.3.6
Write as a solution set.
ステップ 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 4
ステップ 4.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 4.2
簡約します。
ステップ 4.2.1
各項を簡約します。
ステップ 4.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 4.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 4.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.2
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.2.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.2.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.3
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.3.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.3.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.4
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.4.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.4.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.5
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.6
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.6.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.6.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.7
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.7.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.7.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.8
を掛けます。
ステップ 4.2.1.2.8.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.8.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.9
にをかけます。
ステップ 4.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 4.2.3
Simplify each element.
ステップ 4.2.3.1
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.2
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.3
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.4
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.5
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.6
とをたし算します。
ステップ 4.3
Find the null space when .
ステップ 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 4.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.4.2
を簡約します。
ステップ 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 4.3.6
Write as a solution set.
ステップ 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 5
ステップ 5.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 5.2
簡約します。
ステップ 5.2.1
各項を簡約します。
ステップ 5.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 5.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 5.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.2
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.3
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.4
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.5
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.6
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.7
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.8
にをかけます。
ステップ 5.2.1.2.9
にをかけます。
ステップ 5.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 5.2.3
Simplify each element.
ステップ 5.2.3.1
とをたし算します。
ステップ 5.2.3.2
とをたし算します。
ステップ 5.2.3.3
とをたし算します。
ステップ 5.2.3.4
とをたし算します。
ステップ 5.2.3.5
とをたし算します。
ステップ 5.2.3.6
とをたし算します。
ステップ 5.3
Find the null space when .
ステップ 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 5.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 5.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.4.2
を簡約します。
ステップ 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 5.3.6
Write as a solution set.
ステップ 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.