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線形代数 例
ステップ 1
ステップ 1.1
公式を設定し特性方程式を求めます。
ステップ 1.2
サイズの単位行列または恒等行列は正方行列で、主対角線上に1があり、その他の部分に0があります。
ステップ 1.3
既知の値をに代入します。
ステップ 1.3.1
をに代入します。
ステップ 1.3.2
をに代入します。
ステップ 1.4
簡約します。
ステップ 1.4.1
各項を簡約します。
ステップ 1.4.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 1.4.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 1.4.1.2.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.2
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.2.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.2.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.3
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.3.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.3.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.4
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.4.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.4.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.5
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.6
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.6.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.6.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.7
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.7.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.7.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.8
を掛けます。
ステップ 1.4.1.2.8.1
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.8.2
にをかけます。
ステップ 1.4.1.2.9
にをかけます。
ステップ 1.4.2
対応する要素を足します。
ステップ 1.4.3
Simplify each element.
ステップ 1.4.3.1
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.2
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.3
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.4
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.5
とをたし算します。
ステップ 1.4.3.6
とをたし算します。
ステップ 1.5
Find the determinant.
ステップ 1.5.1
Choose the row or column with the most elements. If there are no elements choose any row or column. Multiply every element in row by its cofactor and add.
ステップ 1.5.1.1
Consider the corresponding sign chart.
ステップ 1.5.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a position on the sign chart.
ステップ 1.5.1.3
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.4
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.5
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.6
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.7
The minor for is the determinant with row and column deleted.
ステップ 1.5.1.8
Multiply element by its cofactor.
ステップ 1.5.1.9
Add the terms together.
ステップ 1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3
の値を求めます。
ステップ 1.5.3.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 1.5.3.2
行列式を簡約します。
ステップ 1.5.3.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.5.3.2.1.1
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 1.5.3.2.1.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.3.2.1.1.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.3.2.1.1.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.3.2.1.2
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.1
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.3
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.4
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5.1
を移動させます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.6
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.1.7
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.2.2
からを引きます。
ステップ 1.5.3.2.1.3
を掛けます。
ステップ 1.5.3.2.1.3.1
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.1.3.2
にをかけます。
ステップ 1.5.3.2.2
からを引きます。
ステップ 1.5.3.2.3
とを並べ替えます。
ステップ 1.5.4
の値を求めます。
ステップ 1.5.4.1
行列の行列式は公式を利用して求めることができます。
ステップ 1.5.4.2
行列式を簡約します。
ステップ 1.5.4.2.1
各項を簡約します。
ステップ 1.5.4.2.1.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.5.4.2.1.2
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.3
を掛けます。
ステップ 1.5.4.2.1.3.1
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.3.2
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.1.4
にをかけます。
ステップ 1.5.4.2.2
とをたし算します。
ステップ 1.5.4.2.3
とを並べ替えます。
ステップ 1.5.5
行列式を簡約します。
ステップ 1.5.5.1
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.2
各項を簡約します。
ステップ 1.5.5.2.1
1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、を展開します。
ステップ 1.5.5.2.2
各項を簡約します。
ステップ 1.5.5.2.2.1
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.2
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.3
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.4
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.5.5.2.2.4.1
を移動させます。
ステップ 1.5.5.2.2.4.2
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.4.2.1
を乗します。
ステップ 1.5.5.2.2.4.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.5.5.2.2.4.3
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.2.2.5
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.5.5.2.2.6
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.5.5.2.2.6.1
を移動させます。
ステップ 1.5.5.2.2.6.2
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.7
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.2.8
にをかけます。
ステップ 1.5.5.2.3
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.2.4
からを引きます。
ステップ 1.5.5.2.5
にをかけます。
ステップ 1.5.5.3
の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 1.5.5.3.1
からを引きます。
ステップ 1.5.5.3.2
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.4
とをたし算します。
ステップ 1.5.5.5
とを並べ替えます。
ステップ 1.6
特性多項式をと等しくし、固有値を求めます。
ステップ 1.7
について解きます。
ステップ 1.7.1
方程式の左辺を因数分解します。
ステップ 1.7.1.1
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.1
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.2
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.3
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.4
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.1.5
をで因数分解します。
ステップ 1.7.1.2
因数分解。
ステップ 1.7.1.2.1
たすき掛けを利用してを因数分解します。
ステップ 1.7.1.2.1.1
の形式を考えます。積がで和がである整数の組を求めます。このとき、その積がで、その和がです。
ステップ 1.7.1.2.1.2
この整数を利用して因数分解の形を書きます。
ステップ 1.7.1.2.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 1.7.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 1.7.3
がに等しいとします。
ステップ 1.7.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.7.4.1
がに等しいとします。
ステップ 1.7.4.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.7.5
をに等しくし、を解きます。
ステップ 1.7.5.1
がに等しいとします。
ステップ 1.7.5.2
方程式の両辺にを足します。
ステップ 1.7.6
最終解はを真にするすべての値です。
ステップ 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
ステップ 3
ステップ 3.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 3.2
簡約します。
ステップ 3.2.1
各項を簡約します。
ステップ 3.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 3.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 3.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.2
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.3
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.4
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.5
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.6
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.7
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.8
にをかけます。
ステップ 3.2.1.2.9
にをかけます。
ステップ 3.2.2
Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.
ステップ 3.2.2.1
対応する要素を足します。
ステップ 3.2.2.2
Simplify each element.
ステップ 3.2.2.2.1
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.2
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.3
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.4
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.5
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.6
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.7
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.8
とをたし算します。
ステップ 3.2.2.2.9
とをたし算します。
ステップ 3.3
Find the null space when .
ステップ 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 3.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 3.3.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.1.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 3.3.2.3
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.3.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 3.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 3.3.6
Write as a solution set.
ステップ 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 4
ステップ 4.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 4.2
簡約します。
ステップ 4.2.1
各項を簡約します。
ステップ 4.2.1.1
に行列の各要素を掛けます。
ステップ 4.2.1.2
行列の各要素を簡約します。
ステップ 4.2.1.2.1
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.2
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.3
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.4
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.5
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.6
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.7
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.8
にをかけます。
ステップ 4.2.1.2.9
にをかけます。
ステップ 4.2.2
対応する要素を足します。
ステップ 4.2.3
Simplify each element.
ステップ 4.2.3.1
からを引きます。
ステップ 4.2.3.2
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.3
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.4
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.5
からを引きます。
ステップ 4.2.3.6
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.7
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.8
とをたし算します。
ステップ 4.2.3.9
からを引きます。
ステップ 4.3
Find the null space when .
ステップ 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 4.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.1.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.4.2
を簡約します。
ステップ 4.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 4.3.2.5.2
を簡約します。
ステップ 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 4.3.6
Write as a solution set.
ステップ 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 5
ステップ 5.1
既知数を公式に代入します。
ステップ 5.2
簡約します。
ステップ 5.2.1
対応する要素を引きます。
ステップ 5.2.2
Simplify each element.
ステップ 5.2.2.1
からを引きます。
ステップ 5.2.2.2
からを引きます。
ステップ 5.2.2.3
からを引きます。
ステップ 5.2.2.4
からを引きます。
ステップ 5.2.2.5
からを引きます。
ステップ 5.2.2.6
からを引きます。
ステップ 5.2.2.7
からを引きます。
ステップ 5.2.2.8
からを引きます。
ステップ 5.2.2.9
からを引きます。
ステップ 5.3
Find the null space when .
ステップ 5.3.1
Write as an augmented matrix for .
ステップ 5.3.2
縮小行の階段形を求めます。
ステップ 5.3.2.1
Swap with to put a nonzero entry at .
ステップ 5.3.2.2
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.2.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.3
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.3.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.3.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.4
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.4.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.4.2
を簡約します。
ステップ 5.3.2.5
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.5.1
Perform the row operation to make the entry at a .
ステップ 5.3.2.5.2
を簡約します。
ステップ 5.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
ステップ 5.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
ステップ 5.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
ステップ 5.3.6
Write as a solution set.
ステップ 5.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
ステップ 6
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.