線形代数 例

頻出問題
線形代数
逆元を求める [[4,-10,29],[1,-2,5],[-3,7,-19]]
[4-10291-25-37-19]⎡⎢⎣4−10291−25−37−19⎤⎥⎦
ステップ 1
Find the determinant.
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
Choose the row or column with the most 00 elements. If there are no 00 elements choose any row or column. Multiply every element in row 11 by its cofactor and add.
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ステップ 1.1.1
Consider the corresponding sign chart.
|+-+-+-+-+|∣∣ ∣∣+−+−+−+−+∣∣ ∣∣
ステップ 1.1.2
The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a -− position on the sign chart.
ステップ 1.1.3
The minor for a11a11 is the determinant with row 11 and column 11 deleted.
|-257-19|∣∣∣−257−19∣∣∣
ステップ 1.1.4
Multiply element a11a11 by its cofactor.
4|-257-19|4∣∣∣−257−19∣∣∣
ステップ 1.1.5
The minor for a12a12 is the determinant with row 11 and column 22 deleted.
|15-3-19|∣∣∣15−3−19∣∣∣
ステップ 1.1.6
Multiply element a12a12 by its cofactor.
10|15-3-19|10∣∣∣15−3−19∣∣∣
ステップ 1.1.7
The minor for a13a13 is the determinant with row 11 and column 33 deleted.
|1-2-37|∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.1.8
Multiply element a13a13 by its cofactor.
29|1-2-37|29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.1.9
Add the terms together.
4|-257-19|+10|15-3-19|+29|1-2-37|4∣∣∣−257−19∣∣∣+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4|-257-19|+10|15-3-19|+29|1-2-37|4∣∣∣−257−19∣∣∣+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.2
|-257-19|∣∣∣−257−19∣∣∣の値を求めます。
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ステップ 1.2.1
2×22×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cbを利用して求めることができます。
4(-2⋅-19-7⋅5)+10|15-3-19|+29|1-2-37|4(−2⋅−19−7⋅5)+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.2.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.2.1.1
-2−2に-19−19をかけます。
4(38-7⋅5)+10|15-3-19|+29|1-2-37|4(38−7⋅5)+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.2.2.1.2
-7−7に55をかけます。
4(38-35)+10|15-3-19|+29|1-2-37|4(38−35)+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4(38-35)+10|15-3-19|+29|1-2-37|4(38−35)+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.2.2.2
3838から3535を引きます。
4⋅3+10|15-3-19|+29|1-2-37|4⋅3+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10|15-3-19|+29|1-2-37|4⋅3+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10|15-3-19|+29|1-2-37|4⋅3+10∣∣∣15−3−19∣∣∣+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.3
|15-3-19|∣∣∣15−3−19∣∣∣の値を求めます。
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ステップ 1.3.1
2×22×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cbを利用して求めることができます。
4⋅3+10(1⋅-19-(-3⋅5))+29|1-2-37|4⋅3+10(1⋅−19−(−3⋅5))+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.3.2
行列式を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.3.2.1.1
-19−19に11をかけます。
4⋅3+10(-19-(-3⋅5))+29|1-2-37|4⋅3+10(−19−(−3⋅5))+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.3.2.1.2
-(-3⋅5)−(−3⋅5)を掛けます。
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ステップ 1.3.2.1.2.1
-3−3に55をかけます。
4⋅3+10(-19--15)+29|1-2-37|4⋅3+10(−19−−15)+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.3.2.1.2.2
-1−1に-15−15をかけます。
4⋅3+10(-19+15)+29|1-2-37|4⋅3+10(−19+15)+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10(-19+15)+29|1-2-37|4⋅3+10(−19+15)+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10(-19+15)+29|1-2-37|4⋅3+10(−19+15)+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.3.2.2
-19−19と1515をたし算します。
4⋅3+10⋅-4+29|1-2-37|4⋅3+10⋅−4+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10⋅-4+29|1-2-37|4⋅3+10⋅−4+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
4⋅3+10⋅-4+29|1-2-37|4⋅3+10⋅−4+29∣∣∣1−2−37∣∣∣
ステップ 1.4
|1-2-37|∣∣∣1−2−37∣∣∣の値を求めます。
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ステップ 1.4.1
2×22×2行列の行列式は公式|abcd|=ad-cb∣∣∣abcd∣∣∣=ad−cbを利用して求めることができます。
4⋅3+10⋅-4+29(1⋅7-(-3⋅-2))4⋅3+10⋅−4+29(1⋅7−(−3⋅−2))
ステップ 1.4.2
行列式を簡約します。
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ステップ 1.4.2.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.4.2.1.1
77に11をかけます。
4⋅3+10⋅-4+29(7-(-3⋅-2))4⋅3+10⋅−4+29(7−(−3⋅−2))
ステップ 1.4.2.1.2
-(-3⋅-2)−(−3⋅−2)を掛けます。
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ステップ 1.4.2.1.2.1
-3−3に-2−2をかけます。
4⋅3+10⋅-4+29(7-1⋅6)4⋅3+10⋅−4+29(7−1⋅6)
ステップ 1.4.2.1.2.2
-1−1に66をかけます。
4⋅3+10⋅-4+29(7-6)4⋅3+10⋅−4+29(7−6)
4⋅3+10⋅-4+29(7-6)4⋅3+10⋅−4+29(7−6)
4⋅3+10⋅-4+29(7-6)4⋅3+10⋅−4+29(7−6)
ステップ 1.4.2.2
77から66を引きます。
4⋅3+10⋅-4+29⋅14⋅3+10⋅−4+29⋅1
4⋅3+10⋅-4+29⋅14⋅3+10⋅−4+29⋅1
4⋅3+10⋅-4+29⋅14⋅3+10⋅−4+29⋅1
ステップ 1.5
行列式を簡約します。
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ステップ 1.5.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.5.1.1
44に33をかけます。
12+10⋅-4+29⋅112+10⋅−4+29⋅1
ステップ 1.5.1.2
1010に-4−4をかけます。
12-40+29⋅112−40+29⋅1
ステップ 1.5.1.3
2929に11をかけます。
12-40+2912−40+29
12-40+2912−40+29
ステップ 1.5.2
1212から4040を引きます。
-28+29−28+29
ステップ 1.5.3
-28−28と2929をたし算します。
11
11
11
ステップ 2
Since the determinant is non-zero, the inverse exists.
ステップ 3
Set up a 3×63×6 matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.
[4-10291001-25010-37-19001]⎡⎢⎣4−10291001−25010−37−19001⎤⎥⎦
ステップ 4
縮小行の階段形を求めます。
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ステップ 4.1
Multiply each element of R1R1 by 1414 to make the entry at 1,11,1 a 11.
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ステップ 4.1.1
Multiply each element of R1R1 by 1414 to make the entry at 1,11,1 a 11.
[44-1042941404041-25010-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣44−1042941404041−25010−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
ステップ 4.1.2
R1R1を簡約します。
[1-5229414001-25010-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣1−5229414001−25010−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
[1-5229414001-25010-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣1−5229414001−25010−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
ステップ 4.2
Perform the row operation R2=R2-R1R2=R2−R1 to make the entry at 2,12,1 a 00.
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ステップ 4.2.1
Perform the row operation R2=R2-R1R2=R2−R1 to make the entry at 2,12,1 a 00.
[1-5229414001-1-2+525-2940-141-00-0-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣1−5229414001−1−2+525−2940−141−00−0−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
ステップ 4.2.2
R2R2を簡約します。
[1-522941400012-94-1410-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣1−522941400012−94−1410−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
[1-522941400012-94-1410-37-19001]⎡⎢ ⎢⎣1−522941400012−94−1410−37−19001⎤⎥ ⎥⎦
ステップ 4.3
Perform the row operation R3=R3+3R1R3=R3+3R1 to make the entry at 3,13,1 a 00.
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ステップ 4.3.1
Perform the row operation R3=R3+3R1R3=R3+3R1 to make the entry at 3,13,1 a 00.
[1-522941400012-94-1410-3+3⋅17+3(-52)-19+3(294)0+3(14)0+3⋅01+3⋅0]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−522941400012−94−1410−3+3⋅17+3(−52)−19+3(294)0+3(14)0+3⋅01+3⋅0⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
ステップ 4.3.2
R3R3を簡約します。
[1-522941400012-94-14100-121143401]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−522941400012−94−14100−121143401⎤⎥ ⎥ ⎥⎦
[1-522941400012-94-14100-121143401]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−522941400012−94−14100−121143401⎤⎥ ⎥ ⎥⎦
ステップ 4.4
Multiply each element of R2R2 by 22 to make the entry at 2,22,2 a 11.
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ステップ 4.4.1
Multiply each element of R2R2 by 22 to make the entry at 2,22,2 a 11.
[1-5229414002⋅02(12)2(-94)2(-14)2⋅12⋅00-121143401]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−5229414002⋅02(12)2(−94)2(−14)2⋅12⋅00−121143401⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
ステップ 4.4.2
R2R2を簡約します。
[1-52294140001-92-12200-121143401]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−52294140001−92−12200−121143401⎤⎥ ⎥ ⎥⎦
[1-52294140001-92-12200-121143401]⎡⎢ ⎢ ⎢⎣1−52294140001−92−12200−121143401⎤⎥ ⎥ ⎥⎦
ステップ 4.5
Perform the row operation R3=R3+12R2R3=R3+12R2 to make the entry at 3,23,2 a 00.
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ステップ 4.5.1
Perform the row operation R3=R3+12R2R3=R3+12R2 to make the entry at 3,23,2 a 00.
[1-52294140001-92-12200+12⋅0-12+12⋅1114+12(-92)34+12(-12)0+12⋅21+12⋅0]⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−52294140001−92−12200+12⋅0−12+12⋅1114+12(−92)34+12(−12)0+12⋅21+12⋅0⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
ステップ 4.5.2
R3を簡約します。
[1-52294140001-92-122000121211]
[1-52294140001-92-122000121211]
ステップ 4.6
Multiply each element of R3 by 2 to make the entry at 3,3 a 1.
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ステップ 4.6.1
Multiply each element of R3 by 2 to make the entry at 3,3 a 1.
[1-52294140001-92-12202⋅02⋅02(12)2(12)2⋅12⋅1]
ステップ 4.6.2
R3を簡約します。
[1-52294140001-92-1220001122]
[1-52294140001-92-1220001122]
ステップ 4.7
Perform the row operation R2=R2+92R3 to make the entry at 2,3 a 0.
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ステップ 4.7.1
Perform the row operation R2=R2+92R3 to make the entry at 2,3 a 0.
[1-5229414000+92⋅01+92⋅0-92+92⋅1-12+92⋅12+92⋅20+92⋅2001122]
ステップ 4.7.2
R2を簡約します。
[1-5229414000104119001122]
[1-5229414000104119001122]
ステップ 4.8
Perform the row operation R1=R1-294R3 to make the entry at 1,3 a 0.
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ステップ 4.8.1
Perform the row operation R1=R1-294R3 to make the entry at 1,3 a 0.
[1-294⋅0-52-294⋅0294-294⋅114-294⋅10-294⋅20-294⋅20104119001122]
ステップ 4.8.2
R1を簡約します。
[1-520-7-292-2920104119001122]
[1-520-7-292-2920104119001122]
ステップ 4.9
Perform the row operation R1=R1+52R2 to make the entry at 1,2 a 0.
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ステップ 4.9.1
Perform the row operation R1=R1+52R2 to make the entry at 1,2 a 0.
[1+52⋅0-52+52⋅10+52⋅0-7+52⋅4-292+52⋅11-292+52⋅90104119001122]
ステップ 4.9.2
R1を簡約します。
[10031380104119001122]
[10031380104119001122]
[10031380104119001122]
ステップ 5
The right half of the reduced row echelon form is the inverse.
[31384119122]
 [x2  12  √π  ∫xdx ]