線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & a 3 & - a & 1 1 & - 2 & 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & a \\ 3 & - a & 1 \\ 1 & - 2 & 3 \end{array}]$

ステップ 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

ステップ 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

ステップ 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.9

Add the terms together.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2

0

$0$ に

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - a & 1 - 2 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - a & 1 \\ - 2 & 3 \end{array} |$ をかけます。

0 + 1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 | \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} | + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 3

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 1 1 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

2 \times 2

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

0 + 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 (3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

3

$3$ に

3

$3$ をかけます。

0 + 1 (9 - 1 \cdot 1) + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 (9 - 1 \cdot 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.1.2

- 1

$- 1$ に

1

$1$ をかけます。

0 + 1 (9 - 1) + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 (9 - 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

0 + 1 (9 - 1) + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 (9 - 1) + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 3.2.2

9

$9$ から

1

$1$ を引きます。

0 + 1 \cdot 8 + a ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & - a 1 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 + 1 \cdot 8 + a | \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 4

$| \begin{array}{c} 3 & - a \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$0 + 1 \cdot 8 + a (3 \cdot - 2 - - a)$

ステップ 4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$3$ に

$- 2$ をかけます。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 - - a)$

ステップ 4.2.2

$- - a$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + 1 a)$

ステップ 4.2.2.2

$a$ に

$1$ をかけます。

$0 + 1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

ステップ 5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$0$ と

$1 \cdot 8$ をたし算します。

$1 \cdot 8 + a (- 6 + a)$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$8$ に

$1$ をかけます。

$8 + a (- 6 + a)$

ステップ 5.2.2

分配則を当てはめます。

$8 + a \cdot - 6 + a \cdot a$

ステップ 5.2.3

$- 6$ を

$a$ の左に移動させます。

$8 - 6 \cdot a + a \cdot a$

ステップ 5.2.4

$a$ に

$a$ をかけます。

$8 - 6 a + a^{2}$

線形代数 例

線形代数例