線形代数例

2 x + 3 y - z = 2

$2 x + 3 y - z = 2$

3 x + 5 y + z = 5

$3 x + 5 y + z = 5$

ステップ 1

式を行列で書きます。

[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 2 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

ステップ 2

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

R_{1}

$R_{1}$ の各要素に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ を掛けて

1, 1

$1, 1$ の項目を

1

$1$ にします。

[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} & \frac{2}{2} \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

ステップ 2.1.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 & 5 & 1 & 5 \end{array}]$

ステップ 2.2

行演算

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

行演算

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 5 - 3 (\frac{3}{2}) & 1 - 3 (- \frac{1}{2}) & 5 - 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.2.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{5}{2} & 2 \end{array}]$

ステップ 2.3

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

2

$2$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

R_{2}

$R_{2}$ の各要素に

2

$2$ を掛けて

2, 2

$2, 2$ の項目を

1

$1$ にします。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (\frac{1}{2}) & 2 (\frac{5}{2}) & 2 \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 2.3.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

ステップ 2.4

行演算

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

行演算

R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}

$R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{2}$ を行い

1, 2

$1, 2$ の項目を

0

$0$ にします。

[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \cdot 5 & 1 - \frac{3}{2} \cdot 4 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

R_{1}

$R_{1}$ を簡約します。

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 8 & - 5 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \end{array}]$

ステップ 3

結果の行列を利用して連立方程式の最終的な解とします。

x - 8 z = - 5

$x - 8 z = - 5$

y + 5 z = 4

$y + 5 z = 4$

ステップ 4

解は式を真にする順序対の集合です。

(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)

$(- 5 + 8 z, 4 - 5 z, z)$

線形代数 例

線形代数例