線形代数例

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

積の法則を $3 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

ステップ 2.2.5

指数を求めます。

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

ステップ 2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$9$ に $3$ をかけます。

$r = \sqrt{9 + 27}$

ステップ 2.3.2

$9$ と $27$ をたし算します。

$r = \sqrt{36}$

ステップ 2.3.3

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{6^{2}}$

ステップ 2.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$r = 6$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ と $- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $3 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

ステップ 4.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

ステップ 4.2

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

ステップ 4.3

$- \sqrt{3}$ は約 $- 1.7320508$ 。負の数なので $- \sqrt{3}$ は無効で、絶対値を削除します

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 4.4

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{3}$

ステップ 5

$x$ が負で $y$ が正なので、点は第二象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $2$

ステップ 6

$(a, b)$ は第二象限にあります。 $θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

ステップ 7

$θ$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 7.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 8

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 9

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 9.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

ステップ 9.2

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

ステップ 9.4

$π \cdot 3$ から $π$ を引きます。

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ステップ 9.4.1

$π$ と $3$ を並べ替えます。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

ステップ 9.4.2

$3 \cdot π$ から $π$ を引きます。

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

ステップ 9.5

${(6)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

ステップ 9.6

$c$ と $\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

ステップ 9.7

$i$ と $\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

ステップ 9.8

$s$ と $\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

ステップ 9.9

括弧を削除します。

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ステップ 9.9.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

ステップ 9.9.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

ステップ 9.9.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

ステップ 9.9.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

ステップ 9.9.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

ステップ 9.9.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

ステップ 9.9.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

ステップ 10

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

括弧を削除します。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.3

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.5

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.5.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

ステップ 10.6

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 10.6.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

ステップ 10.6.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

ステップ 10.7

$\frac{2 π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

ステップ 10.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 10.9

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.9.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 10.9.2

共通因数を約分します。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 10.9.3

式を書き換えます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

ステップ 11

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.3

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.5.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.5.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

ステップ 11.6

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

ステップ 11.7

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

ステップ 11.8

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

ステップ 11.9

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

ステップ 11.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.10.1

$3$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

ステップ 11.10.2

$2 π$ と $6 π$ をたし算します。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

ステップ 11.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 11.12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.12.1

$2$ を $8 π$ で因数分解します。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 11.12.2

共通因数を約分します。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 11.12.3

式を書き換えます。

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

ステップ 12

解をまとめます。

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

線形代数 例

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