線形代数例

x + y + z + t = 4

$x + y + z + t = 4$ ,

$2 x - y - z - t = - 1$ ,

$x + y - 2 z = 0$ ,

$3 x + 3 t = 6$

ステップ 1

連立方程式から

$A X = B$ を求めます。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

ステップ 2

係数行列の逆を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

最大の

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行

$4$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.1.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 2.1.1.3

$a_{41}$ の小行列式は、行

$4$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.4

要素

$a_{41}$ にその余因子を掛けます。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.5

$a_{42}$ の小行列式は、行

$4$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.6

要素

$a_{42}$ にその余因子を掛けます。

$3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.7

$a_{43}$ の小行列式は、行

$4$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.8

要素

$a_{43}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.9

$a_{44}$ の小行列式は、行

$4$ と列

$4$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.10

要素

$a_{44}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.1.11

項同士を足します。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ をかけます。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.3

$0$ に

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} |$ をかけます。

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

最大の

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行

$1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 2.1.4.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.4

要素

$a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.6

要素

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.8

要素

$a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.4.1.9

項同士を足します。

$- 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.2.1.1

$- 1$ に

$- 2$ をかけます。

$- 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2.2.1.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$- 3 (1 (2 + 1) - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.2.2.2

$2$ と

$1$ をたし算します。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.3

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (2 \cdot - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.2.1.1

$2$ に

$- 2$ をかけます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.3.2.1.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 (- 4 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.3.2.2

$- 4$ と

$1$ をたし算します。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.4

$| \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.4.2.1.1

$2$ に

$1$ をかけます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 - 1 \cdot - 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.4.2.1.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 (2 + 1)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.4.2.2

$2$ と

$1$ をたし算します。

$- 3 (1 \cdot 3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.5.1.1

$3$ に

$1$ をかけます。

$- 3 (3 - 1 \cdot - 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.5.1.2

$- 1$ に

$- 3$ をかけます。

$- 3 (3 + 3 + 1 \cdot 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.5.1.3

$3$ に

$1$ をかけます。

$- 3 (3 + 3 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.5.2

$3$ と

$3$ をたし算します。

$- 3 (6 + 3) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.4.5.3

$6$ と

$3$ をたし算します。

$- 3 \cdot 9 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 2.1.5

$| \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

最大の

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。列

$1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.2

指数が符号図の

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 2.1.5.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行

$1$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.4

要素

$a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.5

$a_{21}$ の小行列式は、行

$2$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.6

要素

$a_{21}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.7

$a_{31}$ の小行列式は、行

$3$ と列

$1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.8

要素

$a_{31}$ にその余因子を掛けます。

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

ステップ 2.1.5.1.9

項同士を足します。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 | \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.3

$| \begin{array}{c} - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (- - 2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.2.1.1

$- 1$ に

$- 2$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 - 1 \cdot - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.3.2.1.2

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 (2 + 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.3.2.2

$2$ と

$1$ をたし算します。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} | + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & - 2 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (1 \cdot - 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.4.2.1.1

$- 2$ に

$1$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1 \cdot 1) + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.4.2.1.2

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 (- 2 - 1) + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.4.2.2

$- 2$ から

$1$ を引きます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (1 \cdot 3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.5.1.1

$3$ に

$1$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 + 1 \cdot - 3 + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.5.1.2

$- 3$ に

$1$ をかけます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (3 - 3 + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.5.2

$3$ から

$3$ を引きます。

$- 3 \cdot 9 + 3 (0 + 0) + 0 + 0$

ステップ 2.1.5.5.3

$0$ と

$0$ をたし算します。

$- 3 \cdot 9 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

ステップ 2.1.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1

$- 3$ に

$9$ をかけます。

$- 27 + 3 \cdot 0 + 0 + 0$

ステップ 2.1.6.1.2

$3$ に

$0$ をかけます。

$- 27 + 0 + 0 + 0$

ステップ 2.1.6.2

$- 27$ と

$0$ をたし算します。

$- 27 + 0 + 0$

ステップ 2.1.6.3

$- 27$ と

$0$ をたし算します。

$- 27 + 0$

ステップ 2.1.6.4

$- 27$ と

$0$ をたし算します。

$- 27$

ステップ 2.2

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 2.3

$4 \times 8$ 行列を、左半分を元の行列、右半分をその単位行列となるように設定します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

行演算

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

行演算

$R_{2} = R_{2} + R_{1}$ を行い

$2, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 2 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + 1 \cdot 1 & 0 + 1 \cdot 1 & 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.2

行演算

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ を行い

$4, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

行演算

$R_{4} = R_{4} - 3 R_{1}$ を行い

$4, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 2.4.2.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.3

$R_{2}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

$R_{2}$ の各要素に

$\frac{1}{3}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{0}{3} & \frac{3}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{0}{3} & \frac{0}{3} \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.4

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.4.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 1 - 0 & - 2 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 1 - 0 & 0 - 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.5

行演算

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ を行い

$4, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

行演算

$R_{4} = R_{4} + 3 R_{3}$ を行い

$4, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & - 3 + 3 \cdot - 2 & - 3 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 (- \frac{1}{3}) & 0 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 2.4.5.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 9 & - 4 & - 1 & 3 & 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.6

$R_{4}$ の各要素に

$- \frac{1}{9}$ を掛けて

$4, 4$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

$R_{4}$ の各要素に

$- \frac{1}{9}$ を掛けて

$4, 4$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot 0 & - \frac{1}{9} \cdot - 9 & - \frac{1}{9} \cdot - 4 & - \frac{1}{9} \cdot - 1 & - \frac{1}{9} \cdot 3 & - \frac{1}{9} \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 2.4.6.2

$R_{4}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - 2 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.7

行演算

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ を行い

$3, 4$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

行演算

$R_{3} = R_{3} + 2 R_{4}$ を行い

$3, 4$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 + 2 \cdot 0 & 0 + 2 \cdot 0 & 1 + 2 \cdot 0 & - 2 + 2 \cdot 1 & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{4}{9}) & - \frac{1}{3} + 2 (\frac{1}{9}) & 1 + 2 (- \frac{1}{3}) & 0 + 2 (- \frac{1}{9}) \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.7.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.8

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ を行い

$1, 4$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{4}$ を行い

$1, 4$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 1 - \frac{4}{9} & 0 - \frac{1}{9} & 0 + \frac{1}{3} & 0 + \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.9

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.9.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{5}{9} - \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} + \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.9.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.10

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.10.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{3} & 0 - \frac{1}{3} & 0 - 0 & \frac{1}{3} - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.4.10.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2.5

縮小行の階段形の右半分は逆行列です。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 3

行列式の両辺に逆行列を左掛けします。

$([\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 1 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & - 2 \\ 3 & 3 & 0 & 0 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

ステップ 4

逆行列を掛けた行列は常に

$1$ と等しくなります。

$A \cdot A^{- 1} = 1$ です。

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{5}{9} & - \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & - \frac{2}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{1}{9} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{9} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 4 \\ - 1 \\ 0 \\ 6 \end{array}]$

ステップ 5

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は

$4 \times 4$ 、第二の行列は

$4 \times 1$ です。

ステップ 5.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 6 \\ \frac{1}{3} \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot - 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 6 \\ \frac{5}{9} \cdot 4 - \frac{1}{9} \cdot - 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{2}{9} \cdot 6 \\ \frac{4}{9} \cdot 4 + \frac{1}{9} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{9} \cdot 6 \end{array}]$

ステップ 5.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 6

左辺と右辺を簡約します。

$[\begin{array}{c} t \\ x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

ステップ 7

解を求めます。

$t = 1$

$x = 1$

$y = 1$

$z = 1$

線形代数 例

線形代数例