線形代数例

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1

すべての変数を各方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺に $5$ を足します。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.2

$- 2 z$ を移動させます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.3

$y$ と $x$ を並べ替えます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

ステップ 1.4

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

方程式の両辺から $4 y$ を引きます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

ステップ 1.4.2

方程式の両辺に $z$ を足します。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

ステップ 1.5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

ステップ 2

連立方程式を行列形式で表します。

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

ステップ 3

係数行列 $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ の行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ を行列式表記で書きます。

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2

最大の $0$ 要素を持つ行または列を選択します。 $0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。行 $1$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 3.2.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 3.2.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 3.2.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.2.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.2.9

項同士を足します。

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.3

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.3.2.1.2

$- (- 4 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.3.2.2

$1$ から $8$ を引きます。

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.4

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.4.2.1.2

$- (- 2 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.2.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.4.2.1.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.4.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 3.5

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

ステップ 3.5.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

ステップ 3.5.2.1.2

$- (- 2 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

ステップ 3.5.2.1.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

ステップ 3.5.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

ステップ 3.6

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$2$ に $- 7$ をかけます。

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

ステップ 3.6.1.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

ステップ 3.6.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 14 - 9 - 2$

ステップ 3.6.2

$- 14$ から $9$ を引きます。

$- 23 - 2$

ステップ 3.6.3

$- 23$ から $2$ を引きます。

$- 25$

$D = - 25$

ステップ 4

行列式が $0$ ではないので、クラメルの公式を使って式を解くことができます。

ステップ 5

$x = \frac{D_{x}}{D}$ とするクラメルの公式で $x$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の $x$ 係数に対応する係数行列の列 $1$ を $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ で置き換えます。

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 5.2.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 5.2.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.1.9

項同士を足します。

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.2.2.2

$1$ から $8$ を引きます。

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.3

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.1.2

$- (- 3 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1.2.1

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.3.2.2

$5$ から $6$ を引きます。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

ステップ 5.2.4

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

ステップ 5.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.1

$5$ に $- 4$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

ステップ 5.2.4.2.1.2

$- (- 3 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1.2.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

ステップ 5.2.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

ステップ 5.2.4.2.2

$- 20$ と $3$ をたし算します。

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

ステップ 5.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1.1

$4$ に $- 7$ をかけます。

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

ステップ 5.2.5.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

ステップ 5.2.5.1.3

$- 17$ に $1$ をかけます。

$- 28 - 3 - 17$

ステップ 5.2.5.2

$- 28$ から $3$ を引きます。

$- 31 - 17$

ステップ 5.2.5.3

$- 31$ から $17$ を引きます。

$- 48$

$D_{x} = - 48$

ステップ 5.3

$x$ を解くにはこの公式を使います。

$x = \frac{D_{x}}{D}$

ステップ 5.4

公式の $- 25$ を $D$ に、 $- 48$ を $D_{x}$ に代入します。

$x = \frac{- 48}{- 25}$

ステップ 5.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{48}{25}$

ステップ 6

$y = \frac{D_{y}}{D}$ とするクラメルの公式で $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の $y$ 係数に対応する係数行列の列 $2$ を $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ で置き換えます。

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 6.2.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 6.2.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.1.9

項同士を足します。

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.2

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$5$ に $1$ をかけます。

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$- (- 3 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.2.1

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.2.2.2

$5$ から $6$ を引きます。

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.3

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.1.2

$- (- 2 \cdot - 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1.2.1

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.3.2.2

$1$ から $4$ を引きます。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 6.2.4

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

ステップ 6.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

ステップ 6.2.4.2.1.2

$- (- 2 \cdot 5)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1.2.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

ステップ 6.2.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

ステップ 6.2.4.2.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

ステップ 6.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

ステップ 6.2.5.1.2

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

ステップ 6.2.5.1.3

$7$ に $1$ をかけます。

$- 2 + 12 + 7$

ステップ 6.2.5.2

$- 2$ と $12$ をたし算します。

$10 + 7$

ステップ 6.2.5.3

$10$ と $7$ をたし算します。

$17$

$D_{y} = 17$

ステップ 6.3

$y$ を解くにはこの公式を使います。

$y = \frac{D_{y}}{D}$

ステップ 6.4

公式の $- 25$ を $D$ に、 $17$ を $D_{y}$ に代入します。

$y = \frac{17}{- 25}$

ステップ 6.5

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{17}{25}$

ステップ 7

$z = \frac{D_{z}}{D}$ とするクラメルの公式で $z$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の $z$ 係数に対応する係数行列の列 $3$ を $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ で置き換えます。

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

ステップ 7.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

該当する符号図を考慮します。

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 7.2.1.2

指数が符号図の $-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 7.2.1.3

$a_{11}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $1$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.4

要素 $a_{11}$ にその余因子を掛けます。

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.5

$a_{12}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $2$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.6

要素 $a_{12}$ にその余因子を掛けます。

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.7

$a_{13}$ の小行列式は、行 $1$ と列 $3$ を削除した行列式です。

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.8

要素 $a_{13}$ にその余因子を掛けます。

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.1.9

項同士を足します。

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.2

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$- (- 4 \cdot 5)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1.2.1

$- 4$ に $5$ をかけます。

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.2.2.1.2.2

$- 1$ に $- 20$ をかけます。

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.2.2.2

$- 3$ と $20$ をたし算します。

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.3

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.3.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.3.2.1.2

$- (- 2 \cdot 5)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1.2.1

$- 2$ に $5$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.3.2.1.2.2

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.3.2.2

$- 3$ と $10$ をたし算します。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

ステップ 7.2.4

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

ステップ 7.2.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

ステップ 7.2.4.2.1.2

$- (- 2 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.2.1.2.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

ステップ 7.2.4.2.1.2.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

ステップ 7.2.4.2.2

$- 4$ と $2$ をたし算します。

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

ステップ 7.2.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1.1

$2$ に $17$ をかけます。

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

ステップ 7.2.5.1.2

$3$ に $7$ をかけます。

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

ステップ 7.2.5.1.3

$4$ に $- 2$ をかけます。

$34 + 21 - 8$

ステップ 7.2.5.2

$34$ と $21$ をたし算します。

$55 - 8$

ステップ 7.2.5.3

$55$ から $8$ を引きます。

$47$

$D_{z} = 47$

ステップ 7.3

$z$ を解くにはこの公式を使います。

$z = \frac{D_{z}}{D}$

ステップ 7.4

公式の $- 25$ を $D$ に、 $47$ を $D_{z}$ に代入します。

$z = \frac{47}{- 25}$

ステップ 7.5

分数の前に負数を移動させます。

$z = - \frac{47}{25}$

ステップ 8

連立方程式の解を記載します。

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$

線形代数 例

線形代数例