線形代数例

$4 + 4 i$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{4^{2} + 4^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{4^{2} + 4^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{16 + 4^{2}}$

ステップ 2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{16 + 16}$

ステップ 2.3

$16$ と $16$ をたし算します。

$r = \sqrt{32}$

ステップ 2.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$r = \sqrt{16 (2)}$

ステップ 2.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = 4 \sqrt{2}$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{4} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{4}{4} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$4$ を $4$ で割ります。

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

ステップ 4.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$θ̂ = \arctan (1)$

ステップ 4.3

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{4}$

ステップ 5

$x$ と $y$ が両方とも正なので、点は第一象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $1$

ステップ 6

$(a, b)$ は第一象限にあります。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 7

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 8

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 8.1

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π k}{2}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$

ステップ 8.2

$c$ と $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)}{2}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$

ステップ 8.3

$i$ と $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))}{2}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$

ステップ 8.4

$s$ と $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k)))}{2}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} ((\frac{π}{4}) + 2 π k))))}{2}$

ステップ 8.5

括弧を削除します。

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ステップ 8.5.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))))}{2}$

ステップ 8.5.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)))}{2}$

ステップ 8.5.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

ステップ 8.5.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k))}{2}$

ステップ 8.5.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}) (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

ステップ 8.5.6

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

ステップ 8.5.7

括弧を削除します。

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{π}{4} + 2 π k)}{2}$

ステップ 9

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 9.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$k = 0 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

共通因数を約分します。

$k = 0 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.4.2

式を書き換えます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.5

指数を求めます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (0)}{2})$

ステップ 9.6

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 9.6.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0 π}{2})$

ステップ 9.6.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 0}{2})$

ステップ 9.7

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

ステップ 9.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 9.9

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 9.9.1

$\frac{π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{4 \cdot 2})$

ステップ 9.9.2

$4$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

ステップ 10

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$k = 1 : {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.4.1

共通因数を約分します。

$k = 1 : 2^{2 (\frac{1}{2})} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.4.2

式を書き換えます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.5

指数を求めます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(\frac{π}{4}) + 2 π (1)}{2})$

ステップ 10.6

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π}{2})$

ステップ 10.7

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{2})$

ステップ 10.8

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{2})$

ステップ 10.9

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 4}{4}}{2})$

ステップ 10.10

分子を簡約します。

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ステップ 10.10.1

$4$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π + 8 π}{4}}{2})$

ステップ 10.10.2

$π$ と $8 π$ をたし算します。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{9 π}{4}}{2})$

ステップ 10.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2})$

ステップ 10.12

$\frac{9 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 10.12.1

$\frac{9 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{4 \cdot 2})$

ステップ 10.12.2

$4$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$

ステップ 11

解をまとめます。

$k = 0 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{8})$

$k = 1 : 2 {\sqrt{2}}^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{9 π}{8})$

線形代数 例

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