線形代数例

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 1 & 10 \\ 6 & 2 & 5 \end{array}]$

ステップ 1

行列の列が線形従属がどうかを判別するには、方程式 $A x = 0$ が自明でない解を持つかどうかを判別します。

ステップ 2

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 & 1 & 10 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

行演算 $R_{2} = R_{2} - 8 R_{1}$ を行い $2, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 8 - 8 \cdot 1 & 1 - 8 \cdot 2 & 10 - 8 \cdot 1 & 0 - 8 \cdot 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 & 2 & 5 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算 $R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い $3, 1$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & 2 - 6 \cdot 2 & 5 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 15 & 2 & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{15}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.3.1

$R_{2}$ の各要素に $- \frac{1}{15}$ を掛けて $2, 2$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{15} \cdot 0 & - \frac{1}{15} \cdot - 15 & - \frac{1}{15} \cdot 2 & - \frac{1}{15} \cdot 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & - 10 & - 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4

行演算 $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.4.1

行演算 $R_{3} = R_{3} + 10 R_{2}$ を行い $3, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 + 10 \cdot 0 & - 10 + 10 \cdot 1 & - 1 + 10 (- \frac{2}{15}) & 0 + 10 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{7}{3} & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{3}{7}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

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ステップ 3.5.1

$R_{3}$ の各要素に $- \frac{3}{7}$ を掛けて $3, 3$ の項目を $1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} \cdot 0 & - \frac{3}{7} (- \frac{7}{3}) & - \frac{3}{7} \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6

行演算 $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.6.1

行演算 $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{15} R_{3}$ を行い $2, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{15} \cdot 0 & - \frac{2}{15} + \frac{2}{15} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{15} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.7.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ を行い $1, 3$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

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ステップ 3.8.1

行演算 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い $1, 2$ の項目を $0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.8.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

行列を連立一次方程式で書きます。

$x = 0$

$y = 0$

$z = 0$

ステップ 5

$A x = 0$ の唯一の解は自明解であるため、ベクトルは線形独立です。

線形独立

線形代数 例

線形代数例