線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 3 & - 1 & 0 6 & - 2 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

行列の列が線形従属がどうかを判別するには、方程式

A x = 0

$A x = 0$ が自明でない解を持つかどうかを判別します。

ステップ 2

A x = 0

$A x = 0$ の拡大行列で書きます。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 & - 1 & 0 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & - 1 & 0 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

行演算

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

行演算

R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}

$R_{2} = R_{2} - 3 R_{1}$ を行い

2, 1

$2, 1$ の項目を

0

$0$ にします。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 1 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.1.2

R_{2}

$R_{2}$ を簡約します。

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 2 & 1 & 0 0 & - 7 & - 3 & 0 6 & - 2 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 & - 2 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.2

行演算

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - 6 R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 6 - 6 \cdot 1 & - 2 - 6 \cdot 2 & 0 - 6 \cdot 1 & 0 - 6 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.2.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & - 7 & - 3 & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{7}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$R_{2}$ の各要素に

$- \frac{1}{7}$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ - \frac{1}{7} \cdot 0 & - \frac{1}{7} \cdot - 7 & - \frac{1}{7} \cdot - 3 & - \frac{1}{7} \cdot 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.3.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & - 14 & - 6 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.4

行演算

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

行演算

$R_{3} = R_{3} + 14 R_{2}$ を行い

$3, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 + 14 \cdot 0 & - 14 + 14 \cdot 1 & - 6 + 14 (\frac{3}{7}) & 0 + 14 \cdot 0 \end{array}]$

ステップ 3.4.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5

行演算

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

行演算

$R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ を行い

$1, 2$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 (\frac{3}{7}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 3.5.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 4

すべて0の行を削除します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{7} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{3}{7} & 0 \end{array}]$

ステップ 5

行列を連立一次方程式で書きます。

$x + \frac{1}{7} z = 0$

$y + \frac{3}{7} z = 0$

ステップ 6

$A x = 0$ に自明でない解があるため、ベクトルは線形従属です。

線形従属

線形代数 例

線形代数例