線形代数例

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] \cdot B = [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ の逆数を求めます。

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ステップ 1.1

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 1.2

行列式を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$\frac{1}{9} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$\frac{1}{9} \cdot (9 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot 3) - \frac{1}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$3 - \frac{1}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.2.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.2.1

$- \frac{1}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot 6$

ステップ 1.2.2.1.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2))$

ステップ 1.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$3 + \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

ステップ 1.2.2.1.2.4

式を書き換えます。

$3 - 1 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 - 2$

ステップ 1.2.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$1$

ステップ 1.3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 1.4

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 1.5

$1$ を $1$ で割ります。

$1 [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 1.6

$1$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} 1 \cdot 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

ステップ 1.7

行列の各要素を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$27$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 27 & 1 \cdot - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

ステップ 1.7.2

$- 6$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ 1 (- \frac{1}{3}) & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

ステップ 1.7.3

$- \frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & 1 (\frac{1}{9}) \end{array}]$

ステップ 1.7.4

$\frac{1}{9}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}]$

ステップ 2

両辺に $[\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ の逆数を掛けます。

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

ステップ 3

方程式を簡約します。

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ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} \frac{1}{9} & 6 \\ \frac{1}{3} & 27 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 2$ です。

ステップ 3.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} 27 (\frac{1}{9}) - 6 (\frac{1}{3}) & 27 \cdot 6 - 6 \cdot 27 \\ - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 6 + \frac{1}{9} \cdot 27 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

ステップ 3.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

ステップ 3.2

単位行列になんらかの行列 $A$ を掛けても、結果はその行列 $A$ になります。

$B = [\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$

ステップ 3.3

$[\begin{array}{c} 27 & - 6 \\ - \frac{1}{3} & \frac{1}{9} \end{array}] [\begin{array}{c} - 10 & 7 \\ - 48 & 30 \end{array}]$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

ステップ 3.3.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$B = [\begin{array}{c} 27 \cdot - 10 - 6 \cdot - 48 & 27 \cdot 7 - 6 \cdot 30 \\ - \frac{1}{3} \cdot - 10 + \frac{1}{9} \cdot - 48 & - \frac{1}{3} \cdot 7 + \frac{1}{9} \cdot 30 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$B = [\begin{array}{c} 18 & 9 \\ - 2 & 1 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例