線形代数例

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] \cdot F = [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 1

$[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ の逆数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 \times 2$ 行列の逆行列は公式 $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ を利用して求めることができます。ここで、 $a d - b c$ は行列式です。

ステップ 1.2

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$32 (\frac{1}{8}) - \frac{3}{5} \cdot 10$

ステップ 1.2.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1.1

$8$ を $32$ で因数分解します。

$8 (4) \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

ステップ 1.2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$8 \cdot 4 \frac{1}{8} - \frac{3}{5} \cdot 10$

ステップ 1.2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$4 - \frac{3}{5} \cdot 10$

ステップ 1.2.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.2.1

$- \frac{3}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot 10$

ステップ 1.2.2.1.2.2

$5$ を $10$ で因数分解します。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (2))$

ステップ 1.2.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$4 + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot 2)$

ステップ 1.2.2.1.2.4

式を書き換えます。

$4 - 3 \cdot 2$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 3$ に $2$ をかけます。

$4 - 6$

ステップ 1.2.2.2

$4$ から $6$ を引きます。

$- 2$

ステップ 1.3

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 1.4

既知の値を逆数の公式に代入します。

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{8} & - 10 \\ - \frac{3}{5} & 32 \end{array}]$

ステップ 1.6

$- \frac{1}{2}$ に行列の各要素を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7

行列の各要素を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

$\frac{1}{8}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{8 \cdot 2} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.1.2

$8$ に $2$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - \frac{1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot - 10 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.2.2

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 5)) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.2.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 5) \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.2.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & - 1 \cdot - 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.3

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ - \frac{1}{2} (- \frac{3}{5}) & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.4

$- \frac{1}{2} (- \frac{3}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ 1 (\frac{1}{2}) \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.4.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{5}$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{2 \cdot 5} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.4.4

$2$ に $5$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - \frac{1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.5.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot 32 \end{array}]$

ステップ 1.7.5.2

$2$ を $32$ で因数分解します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (16)) \end{array}]$

ステップ 1.7.5.3

共通因数を約分します。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 16) \end{array}]$

ステップ 1.7.5.4

式を書き換えます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 1 \cdot 16 \end{array}]$

ステップ 1.7.6

$- 1$ に $16$ をかけます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}]$

ステップ 2

両辺に $[\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ の逆数を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 3

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} 32 & 10 \\ \frac{3}{5} & \frac{1}{8} \end{array}]$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

2つの行列は、第一の行列の列数が第二の行列の行数に等しい場合のみ、乗算できます。ここでは第一の行列は $2 \times 2$ 、第二の行列は $2 \times 2$ です。

ステップ 3.1.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 32 + 5 (\frac{3}{5}) & - \frac{1}{16} \cdot 10 + 5 (\frac{1}{8}) \\ \frac{3}{10} \cdot 32 - 16 (\frac{3}{5}) & \frac{3}{10} \cdot 10 - 16 (\frac{1}{8}) \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 3.1.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 3.2

単位行列になんらかの行列 $A$ を掛けても、結果はその行列 $A$ になります。

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$

ステップ 3.3

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} & 5 \\ \frac{3}{10} & - 16 \end{array}] [\begin{array}{c} - 80 & 80 \\ 1 & 2 \end{array}]$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

ステップ 3.3.2

1番目の行列の各行と2番目の行列の各列を掛けます。

$F = [\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot - 80 + 5 \cdot 1 & - \frac{1}{16} \cdot 80 + 5 \cdot 2 \\ \frac{3}{10} \cdot - 80 - 16 \cdot 1 & \frac{3}{10} \cdot 80 - 16 \cdot 2 \end{array}]$

ステップ 3.3.3

すべての式を掛けて、行列の各要素を簡約します。

$F = [\begin{array}{c} 10 & 5 \\ - 40 & - 8 \end{array}]$

線形代数 例

線形代数例