線形代数例

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 0 & - 1 & 4 6 & 0 & - 2 1 & 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 \\ 6 & 0 & - 2 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]$

ステップ 1

行列式を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

最大の

0

$0$ 要素を持つ行または列を選択します。

0

$0$ 要素がなければ、いずれかの行または列を選択します。列

2

$2$ の各要素に余因子を乗算して加算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

該当する符号図を考慮します。

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

ステップ 1.1.2

指数が符号図の

-

$-$ 位置に一致するなら、余因子は符号を変更した小行列式です。

ステップ 1.1.3

a_{12}

$a_{12}$ の小行列式は、行

1

$1$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.4

要素

a_{12}

$a_{12}$ にその余因子を掛けます。

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.5

a_{22}

$a_{22}$ の小行列式は、行

2

$2$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.6

要素

a_{22}

$a_{22}$ にその余因子を掛けます。

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$

ステップ 1.1.7

a_{32}

$a_{32}$ の小行列式は、行

3

$3$ と列

2

$2$ を削除した行列式です。

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.8

要素

a_{32}

$a_{32}$ にその余因子を掛けます。

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.1.9

項同士を足します。

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

1 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 6 & - 2 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 1 & 0 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 0 & 4 6 & - 2 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.2

$0$ に

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{array} |$ をかけます。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$

ステップ 1.3

$0$ に

$| \begin{array}{c} 0 & 4 \\ 6 & - 2 \end{array} |$ をかけます。

$1 | \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} | + 0 + 0$

ステップ 1.4

$| \begin{array}{c} 6 & - 2 \\ 1 & 0 \end{array} |$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$2 \times 2$ 行列の行列式は公式

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ を利用して求めることができます。

$1 (6 \cdot 0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

ステップ 1.4.2

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1.1

$6$ に

$0$ をかけます。

$1 (0 - 1 \cdot - 2) + 0 + 0$

ステップ 1.4.2.1.2

$- 1$ に

$- 2$ をかけます。

$1 (0 + 2) + 0 + 0$

ステップ 1.4.2.2

$0$ と

$2$ をたし算します。

$1 \cdot 2 + 0 + 0$

ステップ 1.5

行列式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$2$ に

$1$ をかけます。

$2 + 0 + 0$

ステップ 1.5.2

$2$ と

$0$ をたし算します。

$2 + 0$

ステップ 1.5.3

$2$ と

$0$ をたし算します。

$2$

ステップ 2

行列式がゼロではないので、逆行列が存在します。

ステップ 3

$3 \times 6$ 行列を、左半分を元の行列、右半分をその単位行列となるように設定します。

$[\begin{array}{c} 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4

縮小行の階段形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$R_{2}$ と

$R_{1}$ を交換し、ゼロでない項目を

$1, 1$ に設定します。

$[\begin{array}{c} 6 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{6}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$R_{1}$ の各要素に

$\frac{1}{6}$ を掛けて

$1, 1$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{0}{6} & \frac{- 2}{6} & \frac{0}{6} & \frac{1}{6} & \frac{0}{6} \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.2.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

ステップ 4.3

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

行演算

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ を行い

$3, 1$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 1 - 1 & 0 - 0 & 0 + \frac{1}{3} & 0 - 0 & 0 - \frac{1}{6} & 1 - 0 \end{array}]$

ステップ 4.3.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & - 1 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4

$R_{2}$ の各要素に

$- 1$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$R_{2}$ の各要素に

$- 1$ を掛けて

$2, 2$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 4 & - 1 \cdot 1 & - 0 & - 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

ステップ 4.4.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & - \frac{1}{6} & 1 \end{array}]$

ステップ 4.5

$R_{3}$ の各要素に

$3$ を掛けて

$3, 3$ の項目を

$1$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

$R_{3}$ の各要素に

$3$ を掛けて

$3, 3$ の項目を

$1$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 \cdot 0 & 3 (\frac{1}{3}) & 3 \cdot 0 & 3 (- \frac{1}{6}) & 3 \cdot 1 \end{array}]$

ステップ 4.5.2

$R_{3}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

ステップ 4.6

行演算

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

行演算

$R_{2} = R_{2} + 4 R_{3}$ を行い

$2, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 + 4 \cdot 0 & 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & - 1 + 4 \cdot 0 & 0 + 4 (- \frac{1}{2}) & 0 + 4 \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

ステップ 4.6.2

$R_{2}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

ステップ 4.7

行演算

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

行演算

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{3}$ を行い

$1, 3$ の項目を

$0$ にします。

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{6} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2}) & 0 + \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

ステップ 4.7.2

$R_{1}$ を簡約します。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

ステップ 5

縮小行の階段形の右半分は逆行列です。

$[\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ - 1 & - 2 & 12 \\ 0 & - \frac{1}{2} & 3 \end{array}]$

線形代数 例

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