有限数学例

$\log (x - 2) + \log (x + 2) > 2 \log (x - 1)$

ステップ 1

不等式を等式に変換します。

$\log (x - 2) + \log (x + 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log ((x - 2) (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (x + 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x \cdot 2$ と $- 2 x$ について因数を並べ替えます。

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.3.1.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.3.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.3.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.3.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.1.3.2.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\log (x^{2} - 4) = 2 \log (x - 1)$

ステップ 2.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \log (x - 1)$ を簡約します。

$\log (x^{2} - 4) = \log ({(x - 1)}^{2})$

ステップ 2.3

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} - 4 = {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

書き換えます。

$x^{2} - 4 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

ステップ 2.4.1.2

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 = (x - 1) (x - 1)$

ステップ 2.4.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 2.4.1.3.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

ステップ 2.4.1.3.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

ステップ 2.4.1.3.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 4 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - 4 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.1.4.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$x^{2} - 4 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.1.4.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.1.4.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

ステップ 2.4.1.4.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 4 = x^{2} - x - x + 1$

ステップ 2.4.1.4.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1$

ステップ 2.4.2

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} - 2 x + 1 = x^{2} - 4$

ステップ 2.4.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.4.3.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2} = - 4$

ステップ 2.4.3.2

$x^{2} - 2 x + 1 - x^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.4.3.2.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 2 x + 1 + 0 = - 4$

ステップ 2.4.3.2.2

$- 2 x + 1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 x + 1 = - 4$

ステップ 2.4.4

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 2.4.4.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 4 - 1$

ステップ 2.4.4.2

$- 4$ から $1$ を引きます。

$- 2 x = - 5$

ステップ 2.4.5

$- 2 x = - 5$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.5.1

$- 2 x = - 5$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 2.4.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.5.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 2.4.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 5}{- 2}$

ステップ 2.4.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{5}{2}$

ステップ 3

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.2.4

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.5

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.2.6

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 2$

$x = 2$

$x = 1$

ステップ 3.2.7

解をまとめます。

$x = - 2, 2, 1$

ステップ 3.2.8

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.2.8.1

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.2.8.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.8.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.8.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.2.8.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 3.2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

ステップ 3.2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.2.10.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 3.2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{((- 4) + 2) ((- 4) - 2)}{{((- 4) - 1)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.1.3

左辺 $0.48$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.2.10.2

区間 $- 2 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.2.1

区間 $- 2 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{((0) + 2) ((0) - 2)}{{((0) - 1)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.2.3

左辺 $- 4$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.2.10.3

区間 $1 < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.3.1

区間 $1 < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.5$

ステップ 3.2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $1.5$ で置き換えます。

$\frac{((1.5) + 2) ((1.5) - 2)}{{((1.5) - 1)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.3.3

左辺 $- 7$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.2.10.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 3.2.10.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{((4) + 2) ((4) - 2)}{{((4) - 1)}^{2}} > 0$

ステップ 3.2.10.4.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.2.10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 2$ 真

$- 2 < x < 1$ 偽

$1 < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 3.2.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 2$ または $x > 2$

ステップ 3.3

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

解はすべての真の区間からなります。

$x > \frac{5}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$x > \frac{5}{2}$

区間記号：

$(\frac{5}{2}, \infty)$

ステップ 6

有限数学 例

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