有限数学例

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

ステップ 1

$\frac{1}{4}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

ステップ 2

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ の各項に $4$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ の各項に $4$ を掛けます。

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

ステップ 2.2.1.3

$3$ に $4$ をかけます。

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$0$ に $4$ をかけます。

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

ステップ 4

たすき掛けを利用して $x^{2} - 8 x + 12$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $12$ で、その和が $- 8$ です。

$- 6, - 2$

ステップ 4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 6) (x - 2) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 6

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 7

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8

最終解は $(x - 6) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6, 2$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

区間 $x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

区間 $x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.2

区間 $2 < x < 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

区間 $2 < x < 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $- 1$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.3

区間 $x > 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

区間 $x > 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2$ 偽

$2 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

$x < 2$ 偽

$2 < x < 6$ 真

$x > 6$ 偽

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$2 \leq x \leq 6$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

不等式形：

$2 \leq x \leq 6$

区間記号：

$[2, 6]$

ステップ 13

有限数学 例

有限数学例