有限数学例

$4 \log_{5} (\sqrt{6 x - 1}) - \log_{5} (\frac{5}{x}) + \log_{5} (5)$

ステップ 1

$\frac{5}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2

$\log_{5} (\sqrt{6 x - 1})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{6 x - 1} \leq 0$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${\sqrt{6 x - 1}}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 3.2

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 x - 1}$ を ${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

${({(6 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(6 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

ステップ 3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(6 x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

ステップ 3.2.2.1.2

簡約します。

$6 x - 1 \leq 0^{2}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 x - 1 \leq 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$6 x \leq 1$

ステップ 3.3.2

$6 x \leq 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$6 x \leq 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} \leq \frac{1}{6}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{1}{6}$

ステップ 3.4

$\sqrt{6 x - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt{6 x - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$6 x - 1 \geq 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.2.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$6 x \geq 1$

ステップ 3.4.2.2

$6 x \geq 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$6 x \geq 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} \geq \frac{1}{6}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{1}{6}$

ステップ 3.4.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[\frac{1}{6}, \infty)$

ステップ 3.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

ステップ 3.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 3.6.1

区間 $x < \frac{1}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.1.1

区間 $x < \frac{1}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\sqrt{6 (0) - 1} \leq 0$

ステップ 3.6.1.3

左辺は右辺に等しくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.6.2

区間 $x > \frac{1}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 3.6.2.1

区間 $x > \frac{1}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 3.6.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\sqrt{6 (3) - 1} \leq 0$

ステップ 3.6.2.3

左辺 $4.12310562$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{1}{6}$ 偽

$x > \frac{1}{6}$ 偽

$x < \frac{1}{6}$ 偽

$x > \frac{1}{6}$ 偽

ステップ 3.7

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

ステップ 4

$\log_{5} (\frac{5}{x})$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\frac{5}{x} \leq 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.2

$\frac{5}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{5}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 5.2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5.3

解はすべての真の区間からなります。

$x < 0$

ステップ 6

$\sqrt{6 x - 1}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$6 x - 1 < 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

不等式の両辺に $1$ を足します。

$6 x < 1$

ステップ 7.2

$6 x < 1$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$6 x < 1$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} < \frac{1}{6}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{1}{6}$

ステップ 8

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < \frac{1}{6}$

$(- \infty, \frac{1}{6})$

ステップ 9

有限数学 例

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