有限数学例

$\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$

ステップ 1

$\sqrt[6]{4 - x^{2} - 3 x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 - x^{2} - 3 x < 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$4 - x^{2} - 3 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を $4 - x^{2} - 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4$ を移動させます。

$- x^{2} - 3 x + 4 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 3 x + 4 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$- 1$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (3 x) + 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (3 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 3 x - 4) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 1) (x + 4)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $- (x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 4$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$4 - {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 < 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $- 14$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.2

区間 $- 4 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 4 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$4 - {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 < 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.8.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$4 - {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 < 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $- 24$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $x > 1$

ステップ 3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < - 4, x > 1$

$(- \infty, - 4) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

有限数学 例

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