有限数学例

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$

ステップ 1

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ を方程式で書きます。

$y = 750 x^{2} + 15000 x$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 750 y^{2} + 15000 y$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $750 y^{2} + 15000 y = x$ として書き換えます。

$750 y^{2} + 15000 y = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$750 y^{2} + 15000 y - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 750$ 、 $b = 15000$ 、および $c = - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- 15000 \pm \sqrt{15000^{2} - 4 \cdot (750 \cdot (- x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.2.1

$- 4$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.2.2

$- 3000$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.3

$3000$ を $225000000 + 3000 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.3.1

$3000$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.3.2

$3000$ を $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.4

$3000 (75000 + x)$ を $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1.4.1

$100$ を $3000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.4.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

ステップ 3.5.3

$\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.2.1

$- 4$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.2.2

$- 3000$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.3

$3000$ を $225000000 + 3000 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.3.1

$3000$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.3.2

$3000$ を $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.4

$3000 (75000 + x)$ を $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.4.1

$100$ を $3000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.4.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

ステップ 3.6.3

$\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{- 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.6.5

$- 1500$ を $- 1 (1500)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 + \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.6.6

$- 1$ を $\sqrt{30 (75000 + x)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

ステップ 3.6.7

$- 1$ を $- 1 (1500) - 1 (- \sqrt{30 (75000 + x)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1500 - \sqrt{30 (75000 + x)})}{150}$

ステップ 3.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.1

$15000$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 4 \cdot 750 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4 \cdot 750 \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.2.1

$- 4$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 - 3000 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.2.2

$- 3000$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{225000000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.3

$3000$ を $225000000 + 3000 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.3.1

$3000$ を $225000000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 \cdot 75000 + 3000 x}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.3.2

$3000$ を $3000 \cdot 75000 + 3000 x$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{3000 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.4

$3000 (75000 + x)$ を $10^{2} \cdot (30 (75000 + x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1.4.1

$100$ を $3000$ で因数分解します。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{100 (30) (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.4.2

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.4.3

括弧を付けます。

$y = \frac{- 15000 \pm \sqrt{10^{2} \cdot (30 (75000 + x))}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{2 \cdot 750}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $750$ をかけます。

$y = \frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$

ステップ 3.7.3

$\frac{- 15000 \pm 10 \sqrt{30 (75000 + x)}}{1500}$ を簡約します。

$y = \frac{- 1500 \pm \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

ステップ 3.7.5

$- 1$ を $- 1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}$ で因数分解します。

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ステップ 3.7.5.1

$75000$ と $x$ を並べ替えます。

$y = \frac{- 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 3.7.5.2

$- 1500$ を $- 1 (1500)$ に書き換えます。

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 3.7.5.3

$- 1$ を $- \sqrt{30 (x + 75000)}$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 \cdot 1500 - (\sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

ステップ 3.7.5.4

$- 1$ を $- 1 (1500) - (\sqrt{30 (x + 75000)})$ で因数分解します。

$y = \frac{- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

ステップ 3.7.5.5

$- 1 (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ を $- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})$ に書き換えます。

$y = \frac{- (1500 + \sqrt{30 (x + 75000)})}{150}$

ステップ 3.7.6

分数の前に負数を移動させます。

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

$y = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$

$y = - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 5

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ が $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の値域、 $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 75000, \infty)$

ステップ 5.3

$- \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{30 (75000 + x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$30 (75000 + x) \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

$30 (75000 + x) \geq 0$ の各項を $30$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.1

$30 (75000 + x) \geq 0$ の各項を $30$ で割ります。

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

ステップ 5.3.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1

$30$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{30 (75000 + x)}{30} \geq \frac{0}{30}$

ステップ 5.3.2.1.2.1.2

$75000 + x$ を $1$ で割ります。

$75000 + x \geq \frac{0}{30}$

ステップ 5.3.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1.3.1

$0$ を $30$ で割ります。

$75000 + x \geq 0$

ステップ 5.3.2.2

不等式の両辺から $75000$ を引きます。

$x \geq - 75000$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- 75000, \infty)$

ステップ 5.4

$p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ の定義域が $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の範囲で、 $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ の範囲が $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の定義域なので、 $p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$ は $p (x) = 750 x^{2} + 15000 x$ の逆です。

$p^{- 1} (x) = - \frac{1500 - \sqrt{30 (75000 + x)}}{150}, - \frac{1500 + \sqrt{30 (x + 75000)}}{150}$

ステップ 6

有限数学 例

有限数学例