有限数学例

$f (x) = 10 x^{3}$

ステップ 1

$f (x) = 10 x^{3}$ を方程式で書きます。

$y = 10 x^{3}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 10 y^{3}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $10 y^{3} = x$ として書き換えます。

$10 y^{3} = x$

ステップ 3.2

$10 y^{3} = x$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$10 y^{3} = x$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 y^{3}}{10} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.2.2.1.2

$y^{3}$ を $1$ で割ります。

$y^{3} = \frac{x}{10}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{10}}$

ステップ 3.4

$\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\sqrt[3]{\frac{x}{10}}$ を $\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$

ステップ 3.4.2

$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{10}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{2}}$ をかけます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.2

$\sqrt[3]{10}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1} {\sqrt[3]{10}}^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{\sqrt[3]{10}}^{3}}$

ステップ 3.4.3.5

${\sqrt[3]{10}}^{3}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{10}$ を $10^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{{(10^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 3.4.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 3.4.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 3.4.3.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10^{1}}$

ステップ 3.4.3.5.5

指数を求めます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{10}}^{2}}{10}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

${\sqrt[3]{10}}^{2}$ を $\sqrt[3]{10^{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{10^{2}}}{10}$

ステップ 3.4.4.2

$10$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{100}}{10}$

ステップ 3.4.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$

ステップ 3.4.5.2

$\frac{\sqrt[3]{x \cdot 100}}{10}$ の因数を並べ替えます。

$y = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ が $f (x) = 10 x^{3}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (10 x^{3})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{100 (10 x^{3})}}{10}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$100$ に $10$ をかけます。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{1000 x^{3}}}{10}$

ステップ 5.2.3.2

$1000 x^{3}$ を ${(10 x)}^{3}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{\sqrt[3]{{(10 x)}^{3}}}{10}$

ステップ 5.2.3.3

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

ステップ 5.2.4

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = \frac{10 x}{10}$

ステップ 5.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (10 x^{3}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 {(\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10})}^{3}$

ステップ 5.3.3

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{\sqrt[3]{100 x}}^{3}}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4

${\sqrt[3]{100 x}}^{3}$ を $100 x$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{100 x}$ を ${(100 x)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{({(100 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{{(100 x)}^{\frac{3}{3}}}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

ステップ 5.3.4.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10^{3}})$

ステップ 5.3.5

$10$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{1000})$

ステップ 5.3.6

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.6.1

$10$ を $1000$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 (100)})$

ステップ 5.3.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = 10 (\frac{100 x}{10 \cdot 100})$

ステップ 5.3.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

ステップ 5.3.7

$100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = \frac{100 x}{100}$

ステップ 5.3.7.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$ は $f (x) = 10 x^{3}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{100 x}}{10}$

有限数学 例

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