有限数学例

$f (x) = x^{2} - 5 x + 3$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} - 5 x + 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = y^{2} - 5 y + 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $y^{2} - 5 y + 3 = x$ として書き換えます。

$y^{2} - 5 y + 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$y^{2} - 5 y + 3 - x = 0$

ステップ 3.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.4

$a = 1$ 、 $b = - 5$ 、および $c = 3 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.4

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.1.6

$25$ から $12$ を引きます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 3.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.4

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.1.6

$25$ から $12$ を引きます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 3.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 3.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 3 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.4

$- 4$ に $3$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.1.6

$25$ から $12$ を引きます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

ステップ 3.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{5 \pm \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 3.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 3.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

$y = \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ が $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆の定義域は元の関数の値域です、逆も同じです。定義域と $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の値域、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ を求め、それらを比較します。

ステップ 5.2

$f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の値域を求めます。

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ステップ 5.2.1

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- \frac{13}{4}, \infty)$

ステップ 5.3

$\frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.3.1

$\sqrt{13 + 4 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$13 + 4 x \geq 0$

ステップ 5.3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.3.2.1

不等式の両辺から $13$ を引きます。

$4 x \geq - 13$

ステップ 5.3.2.2

$4 x \geq - 13$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.1

$4 x \geq - 13$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 13}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 13}{4}$

ステップ 5.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{- 13}{4}$

ステップ 5.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x \geq - \frac{13}{4}$

ステップ 5.3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$[- \frac{13}{4}, \infty)$

ステップ 5.4

$f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の定義域を求めます。

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ステップ 5.4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5.5

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ の定義域が $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の範囲で、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ の範囲が $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の定義域なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$ は $f (x) = x^{2} - 5 x + 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 + \sqrt{13 + 4 x}}{2}, \frac{5 - \sqrt{13 + 4 x}}{2}$

ステップ 6

有限数学 例

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