有限数学例

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{y^{5}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $\frac{1}{y^{5}} = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{y^{5}} = x$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$y^{5}, 1$

ステップ 3.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$y^{5}$

ステップ 3.3

$\frac{1}{y^{5}} = x$ の各項に $y^{5}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{1}{y^{5}} = x$ の各項に $y^{5}$ を掛けます。

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$y^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = x y^{5}$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式を $x y^{5} = 1$ として書き換えます。

$x y^{5} = 1$

ステップ 3.4.2

$x y^{5} = 1$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$x y^{5} = 1$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$y^{5}$ を $1$ で割ります。

$y^{5} = \frac{1}{x}$

ステップ 3.4.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

ステップ 3.4.4

$\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.1

$\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ を $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

ステップ 3.4.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

ステップ 3.4.4.3

$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ をかけます。

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

ステップ 3.4.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ に $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ をかけます。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

ステップ 3.4.4.4.2

$\sqrt[5]{x}$ を $1$ 乗します。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

ステップ 3.4.4.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

ステップ 3.4.4.4.4

$1$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

ステップ 3.4.4.4.5

${\sqrt[5]{x}}^{5}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.4.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x}$ を $x^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

ステップ 3.4.4.4.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

ステップ 3.4.4.4.5.3

$\frac{1}{5}$ と $5$ をまとめます。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 3.4.4.4.5.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.4.5.4.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

ステップ 3.4.4.4.5.4.2

式を書き換えます。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

ステップ 3.4.4.4.5.5

簡約します。

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

ステップ 3.4.4.5

${\sqrt[5]{x}}^{4}$ を $\sqrt[5]{x^{4}}$ に書き換えます。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ が $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

ステップ 5.2.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

ステップ 5.2.4

積の法則を $\frac{1}{x^{5}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

ステップ 5.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

ステップ 5.2.6

${(x^{5})}^{4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

ステップ 5.2.6.2

$5$ に $4$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

ステップ 5.2.7

$1$ を $1^{5}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

ステップ 5.2.8

$x^{20}$ を ${(x^{4})}^{5}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

ステップ 5.2.9

$\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ を ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ に書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

ステップ 5.2.10

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

ステップ 5.2.11

$x^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.11.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

ステップ 5.2.11.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

ステップ 5.2.11.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ の値を求めます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

ステップ 5.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

積の法則を $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2

${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ を $x^{4}$ に書き換えます。

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ステップ 5.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{x^{4}}$ を $x^{\frac{4}{5}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.3

$\frac{4}{5}$ と $5$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.4

$4$ に $5$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.5

$20$ と $5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.2.5.2.4

$4$ を $1$ で割ります。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.3

$x^{4}$ と $x^{5}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.1

$1$ を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

ステップ 5.3.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.3.2.1

$x^{4}$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

ステップ 5.3.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

ステップ 5.3.3.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.3.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

ステップ 5.3.5

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ は $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

有限数学 例

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