有限数学例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式に $y^{2} - 1$ を掛けます。

$(y^{2} - 1) (x) = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$(y^{2} - 1) (x)$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

分配則を当てはめます。

$y^{2} x - 1 x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

ステップ 3.2.1.2

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$y^{2} x - x = (\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$(\frac{y^{2}}{y^{2} - 1}) (y^{2} - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{y^{2} - 1^{2}} (y^{2} - 1)$

ステップ 3.3.1.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)} (y^{2} - 1)$

ステップ 3.3.1.2

$\frac{y^{2}}{(y + 1) (y - 1)}$ に $y^{2} - 1$ をかけます。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3.3.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.3.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y^{2} - 1^{2})}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3.3.1.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = 1$ です。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3.3.1.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1

$y + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)}$

ステップ 3.3.1.4.1.2

式を書き換えます。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 3.3.1.4.2

$y - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$y^{2} x - x = \frac{y^{2} (y - 1)}{y - 1}$

ステップ 3.3.1.4.2.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} x - x = y^{2}$

ステップ 3.4

$y$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $y^{2}$ を引きます。

$y^{2} x - x - y^{2} = 0$

ステップ 3.4.2

方程式の両辺に $x$ を足します。

$y^{2} x - y^{2} = x$

ステップ 3.4.3

$y^{2}$ を $y^{2} x - y^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.3.1

$y^{2}$ を $y^{2} x$ で因数分解します。

$y^{2} (x) - y^{2} = x$

ステップ 3.4.3.2

$y^{2}$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1 = x$

ステップ 3.4.3.3

$y^{2}$ を $y^{2} (x) + y^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$y^{2} (x - 1) = x$

ステップ 3.4.4

$y^{2} (x - 1) = x$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

$y^{2} (x - 1) = x$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y^{2} (x - 1)}{x - 1} = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.4.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{x}{x - 1}$

ステップ 3.4.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$

ステップ 3.4.6

$\pm \sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.6.1

$\sqrt{\frac{x}{x - 1}}$ を $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$

ステップ 3.4.6.2

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ に $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$

ステップ 3.4.6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.6.3.1

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x - 1}}$ に $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{\sqrt{x - 1} \sqrt{x - 1}}$

ステップ 3.4.6.3.2

$\sqrt{x - 1}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} \sqrt{x - 1}}$

ステップ 3.4.6.3.3

$\sqrt{x - 1}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1} {\sqrt{x - 1}}^{1}}$

ステップ 3.4.6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.4.6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{\sqrt{x - 1}}^{2}}$

ステップ 3.4.6.3.6

${\sqrt{x - 1}}^{2}$ を $x - 1$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.4.6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.4.6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.4.6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{{(x - 1)}^{1}}$

ステップ 3.4.6.3.6.5

簡約します。

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{x - 1}}{x - 1}$

ステップ 3.4.6.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{x - 1}$

ステップ 3.4.7

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.4.7.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。